¿Cuál es la fórmula de (a + b + c) ^ 3?

Answer 1

La respuesta es:

[matemáticas] (a + b + c) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a) [/ matemáticas]

Prueba:

Empezaré por esto

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3ab (a + b) [/ matemáticas]

Suponga que a = A y b = B + C

Entonces, la fórmula anterior se convierte en:

[matemáticas] [A + (B + C)] ^ 3 = A ^ 3 + (B + C) ^ 3 + 3 [A * (B + C)] * (A + B + C) = A ^ 3 + B ^ 3 + C3 + 3BC (B + C) + 3 (AB + AC) (A + B + C) [/ matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 3B ^ 2C + 3BC ^ 2 + 3 (A ^ 2B + AB ^ 2 + ABC + A ^ 2C + ABC + AC ^ 2) [/ matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 3B ^ 2C + 3BC ^ 2 + 3 (A ^ 2B + AB ^ 2 + 2ABC + A ^ 2C + AC ^ 2) [/ matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 3B ^ 2C + 3BC ^ 2 + 3A ^ 2B + 3AB ^ 2 + 6ABC + 3A ^ 2C + 3AC ^ 2 [/matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 6ABC + 3 (A ^ 2B + AB ^ 2 + B ^ 2C + BC ^ 2 + A ^ 2C + AC ^ 2) [/ matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 6ABC + 3 [A ^ 2 (B + C) + B ^ 2 ( C + A) + C ^ 2 (A + B)] [/ matemáticas]

⇒ [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 + 3 (A + B) (B + C) (C + A) [ /matemáticas]

Implica que,

[matemáticas] (a + b + c) ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a) [/ matemáticas]

Answer 2

Si no eliminé ningún término, aquí está la derivación y el resultado correctos:

(a + b + c) * (a + b + c) =

a ^ 2 + ab + ac + ba + b ^ 2 + bc + ca + cb + c ^ 2 =

a ^ 2 + 2ab + 2ac + b ^ 2 + 2bc + c ^ 2

(a ^ 2 + 2ab + 2ac + b ^ 2 + 2bc + c ^ 2) * (a + b + c) =

a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3a ^ 2b + 3a ^ 2c + 3ab ^ 2 + 3b ^ 2c + 3ac ^ 2 + 3bc ^ 2 + 6abc

Answer 3

Mira esto: muestra que $ (a + b + c) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + (a + b + c) (ab + ac + bc) $

Answer 4

(a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) …………… (1)

primero multiplica las dos primeras partes

es decir (a + b + c) (a + b + c)

= a ^ 2 + ab + ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2

= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac

Ahora con esto multiplica la tercera parte de (1)

(a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ac) (a + b + c)

= a ^ 3 + a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 3 + b ^ 2c + c ^ 2a + c ^ 2b +

c ^ 3 + 2a ^ 2b + 2ab ^ 2 + 2abc + 2abc + 2b ^ 2c + 2bc ^ 2 +

2a ^ 2c + 2abc + 2ac ^ 2

= (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) + (3a ^ 2b + 3a ^ 2c + 3b ^ 2a + 3b ^ 2c +

3c ^ 2a + 3c ^ 2b) + 6abc

= (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) +3 (a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c +

c ^ 2a + c ^ 2b) + 6abc

es decir (a + b + c) ^ 3

= (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c)

= (a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3) +3 (a ^ 2b + a ^ 2c + b ^ 2a + b ^ 2c +

c ^ 2a + c ^ 2b) + 6abc

Answer 5

[matemáticas] \ left (a + b + c \ right) ^ {3} = {a} ^ {3} +3 \, {a} ^ {2} b + 3 \, {a} ^ {2} c +3 \, a {b} ^ {2} +6 \, abc + 3 \, a {c} ^ {2} + {b} ^ {3} +3 \, {b} ^ {2} c + 3 \, b {c} ^ {2} + {c} ^ {3} [/ matemáticas]