Para averiguar si un punto dado es un punto de máximos o mínimos locales, utilizamos ciertas pruebas derivadas. Una de ellas es la primera prueba derivada, que es similar al enfoque utilizado por @Sidharth Ramanan en su respuesta.
Probemos algunas otras pruebas.
Teorema (la segunda prueba derivada):
Sea [math] f [/ math] dos veces diferenciable en [math] x = a [/ math]. Entonces,
- ¿Por qué [math] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ math]?
- Supongamos que las superficies de nivel de f (x, y, z) = c y g (x, y, z) = d son tangentes en un punto (x0, y0, z0), ¿cómo mostrarías que a * Gradf (x0, y0, z0) + b * Gradg (x0, y0, z0) = 0 para las constantes a y b?
- ¿Qué es [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {1} {x ^ 2} – \ cot ^ 2x [/ math]
- Cómo calcular [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {2n} {3 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]
- Como resolverias esto? [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {t \ to \ infty} \ dfrac {\ int_ {t} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2} \ mathrm {d} x} {\ tan ^ {- 1} (t) – \ frac {\ pi} {2}} [/ math]
- [math] f ‘(a) = 0 [/ math] y [math] f’ ‘(a)> 0 \ Rightarrow a [/ math] es un punto de mínimos locales para [math] f (x) [/ math ]
- [math] f ‘(a) = 0 [/ math] y [math] f’ ‘(a) <0 \ Rightarrow a [/ math] es un punto de máximos locales para [math] f (x) [/ math ]
Por desgracia, este teorema no puede usarse en la presente pregunta; no menciona nada para [matemáticas] f ‘(a) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f’ ‘(a) = 0 [/ matemáticas].
Probemos la prueba extrema.
Teorema (la prueba extrema):
Sea [math] f [/ math] una función en [math] \ R [/ math] tal que [math] f ‘(a) = 0 [/ math].
Sea [math] n [/ math] el número natural más pequeño para el cual [math] \ dfrac {d ^ {n + 1}} {dx ^ {n + 1}} (f (x)) [/ math] existe en [math] x = a [/ math] y no es cero.
Entonces,
- [matemática] n [/ matemática] es impar y [matemática] \ dfrac {d ^ {n + 1}} {dx ^ {n + 1}} [/ matemática] [matemática] (f (x))> 0 [ / math] en [math] x = a \ Rightarrow a [/ math] es un punto de mínimos locales.
- [matemática] n [/ matemática] es impar y [matemática] \ dfrac {d ^ {n + 1}} {dx ^ {n + 1}} (f (x)) <0 [/ matemática] en [matemática] x = a \ Rightarrow a [/ math] es un punto de máximos locales.
- [math] n [/ math] es par [math] \ Rightarrow a [/ math] es un punto de inflexión.
(La segunda prueba derivada es un caso especial de esta prueba con [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas]).
Ahora esto se puede aplicar a [matemáticas] f (x) = (x-1) ^ 4 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 1 [/ matemáticas].
Aquí, [matemáticas] f ‘(1) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] f ” (1) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] f ” ‘(1) = 0 [/ matemáticas],
[matemáticas] f ” ” (1) = 24 [/ matemáticas].
Nos detenemos aquí porque tenemos nuestra primera derivada distinta de cero. [matemática] n = 3 [/ matemática] (impar) y [matemática] f ” ” (1) [/ matemática] es positiva. Por lo tanto, según la prueba extrema, [matemática] x = 1 [/ matemática] es un punto de mínimos locales para la función [matemática] f (x) = (x-1) ^ 4 [/ matemática] (y no un punto de inflexión). [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
Referencia:
Weisstein, Eric W. “Prueba Extremum”. De MathWorld –Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Ext…