Cómo calcular la integral [matemáticas] \ int \ limits_0 ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ frac {3 \ cos (x) \ sin (x)} {x ^ 2-3x + 2} dx [ /matemáticas]

Answer 1

La integral no converge. Una prueba no rigurosa del hecho es la siguiente.

Tenga en cuenta que existe una singularidad en [math] x = 1. [/ math] En particular, la función

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {3 \ cos (x) \ sin (x)} {x ^ 2-3x + 2} [/ matemáticas]

va al infinito positivo cuando se aborda la singularidad desde la izquierda, y va al infinito negativo cuando se aborda desde la derecha. Reescribiendo la función como

[matemáticas] f (x) = \ dfrac {3 \ cos (x) \ sin (x)} {x-2} \ dfrac {1} {x-1}, [/ matemáticas]

vemos que la función alrededor de la singularidad puede ser aproximada por

[matemáticas] g (x) = \ dfrac {3 \ cos (1) \ sin (1)} {- 1} \ dfrac {1} {x-1} [/ matemáticas]

ya que la fracción izquierda es una constante finita. Mediante la prueba p, la integral de [math] g (x) [/ math] no converge alrededor de [math] x = 1. [/ math] Por lo tanto, la integral de [math] f (x) [/ math ] no converge alrededor de [matemáticas] x = 1. [/ matemáticas]

Answer 2

La integral no se define como el polinomio en el denominador tiene una raíz en [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas].

Pero existe la posibilidad del valor principal de Cauchy. Pero eso no fue pedido.