¿Cuál es la suma al infinito de la serie convergente [matemáticas] \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} + \ frac {2} {8} + \ frac {3} {16} + \ frac {5} {32} + \ frac {8} {64} + \ frac {13} {128} + \ frac {21} {256} + \ frac {34} {512} + \ cdots [/ math] ?

Answer 1

Usemos algunos métodos elementales.

[matemáticas] \ begin {matrix} S & = & \; & \; & \ dfrac 12 & + & \ dfrac 14 & + & \ dfrac 28 & + & \ dfrac 3 {16} & + & \ dfrac 5 {32} & + & \ dfrac 8 {64} & + & \ cdots \\ 2S & = & 1 & + & \ dfrac 12 & + & \ dfrac 24 & + & \ dfrac 38 & + & \ dfrac 5 {16} & + & \ dfrac 8 {32} & + & \ dfrac {13} {64} & + & \ cdots \\ S & = & 1 & + & 0 & + & \ dfrac 14 & + & \ dfrac 18 & + & \ dfrac 2 {16} & + & \ dfrac 3 {32} & + & \ dfrac 5 {64} & + & \ cdots \ end {matrix} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] S = 1+ \ dfrac S2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] S = 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

De hecho, si generalizamos este proceso a evaluar

[matemáticas] S = x + x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 + 5x ^ 5 + 8x ^ 6 + 13x ^ 7 + \ cdots \ tag * {} [/ matemáticas]

En última instancia, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac 1x -1 \ right) S = 1 + xS \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ frac {1-xx ^ 2} x \ right) S = 1 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] S = \ dfrac x {1-xx ^ 2} \ tag * {} [/ matemáticas]

que también se llama la función generadora de números de Fibonacci.

De hecho, específico de este caso, podemos probar la expresión de la función generadora por combinatoria.

No estoy seguro de si te has encontrado con una pregunta de entrevista que te pregunta si puedes saltar un paso hacia arriba o dos pasos hacia arriba en una escalera, de cuántas maneras podrías terminar en el enésimo paso.

Esto se puede resolver por recursión. Consideremos los primeros casos. Si [math] n = 1 [/ math], solo hay una forma, saltando un paso hacia arriba. Si [math] n = 2 [/ math], hay dos formas, una salta un paso hacia arriba dos veces y la otra salta dos pasos a la vez.

Para valores mayores de [math] n [/ math], el último paso puede ser desde [math] (n-1) [/ math] th step o [math] (n-2) [/ math] th step . Así que solo agrega el número de formas que conducen al paso [matemático] (n-1) [/ matemático] y el que conduce al paso [matemático] (n-2) [/ matemático].

Si denotamos el número de formas de llegar a [matemáticas] n [/ matemáticas] paso como [matemáticas] S_n [/ matemáticas]. Luego tenemos [matemáticas] S_1 = 1, S_2 = 2, S_n = S_ {n-1} + S_ {n-2} [/ matemáticas]. ¿Le parece familiar la recurrencia de la secuencia de Fibonacci?

De hecho

[matemáticas] S_n = f_ {n + 1} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Así que pasemos a lo que se supone que debemos probar:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac x {1-xx ^ 2} = \ frac x {1- (x + x ^ 2)} = x + x (x + x ^ 2) + x (x + x ^ 2) ^ 2 + x (x + x ^ 2) ^ 3 + \ cdots [/ math]

Teniendo en cuenta los coeficientes de [matemáticas] x, x ^ 2, x ^ 3 [/ matemáticas] y así sucesivamente, deberíamos recuperar los números de Fibonacci.

Ahora estamos considerando una variante yendo al paso [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas] con el primer paso saltando paso a paso, lo que nos está dando la misma respuesta que antes.

Para obtener el término [math] x [/ math], podemos considerar las formas de llegar al primer paso, que es uno.

Para obtener el término [matemática] x ^ 2 [/ matemática], podemos considerar las formas de llegar al segundo paso, que también es 1, porque hemos arreglado el primer paso para saltar un paso a la vez.

Para obtener el término [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas], podemos considerar las formas de llegar al paso [matemáticas] (n-1) [/ matemáticas], que viene dado por [matemáticas] S_ {n- 1} = f_n [/ matemáticas]

La razón por la que podemos transferirlo al problema combinatorio es que cada término [matemático] (x + x ^ 2) ^ n [/ matemático] representa todas las combinaciones de pasos que pasan por [matemático] n [/ matemático] veces de salto .

De hecho, ya hemos demostrado que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac x {1-xx ^ 2} = x + x ^ 2 + 2x ^ 3 + 3x ^ 4 + 5x ^ 5 + 8x ^ 6 + \ cdots [/ math]

Simplemente sustituya [math] x = \ dfrac 12 [/ math], luego obtendrá la respuesta a esta pregunta específica.

Answer 2

Sea [math] a_n [/ math] el término [math] n ^ \ textrm {th} [/ math] de esta serie. Como los numeradores de estos términos son una secuencia de Fibonacci, [math] a_n [/ math] sigue la relación de recurrencia

[matemáticas] a_n = \ frac {1} {2} a_ {n-1} + \ frac {1} {4} a_ {n-2}, \ quad n \ geq 3. [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 3} ^ \ infty a_n = \ frac {1} {2} \ left (\ sum_ {n = 3} ^ \ infty a_ {n-1} \ right) + \ frac {1} {4} \ left (\ sum_ {n = 3} ^ \ infty a_ {n-2} \ right). [/ Math]

Dejando [math] S_n = \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n [/ math], es decir, la suma requerida al infinito, obtenemos así

[matemáticas] S_n- \ frac {1} {2} – \ frac {1} {4} = \ frac {1} {2} (S_n- \ frac {1} {2}) + \ frac {1} { 4} S_n. [/ Matemáticas]

[matemáticas] S_n- \ frac {1} {2} S_n- \ frac {1} {4} S_n = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} – \ frac {1} {4 }.[/matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {4} S_n = \ frac {1} {2}. [/ matemáticas]

[matemáticas] S_n = 2. [/ matemáticas]

Por lo tanto, la suma al infinito de la serie en cuestión es [math] \ mathbf {2} [/ math].

Answer 3

La secuencia [matemática] 1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ ldots [/ math] es la famosa secuencia de Fibonacci [matemática] \ {F_n \} _ {n \ ge 1} [ / math], dado por

[matemáticas] F_n = \ dfrac {{\ alpha} ^ n – {\ beta} ^ n} {\ alpha- \ beta} = \ dfrac {{\ alpha} ^ n – {\ beta} ^ n} {\ sqrt {5}} [/ matemáticas],

donde [matemática] \ alpha [/ matemática], [matemática] \ beta [/ matemática] satisfacen la ecuación [matemática] x ^ 2-x-1 = 0 [/ matemática].

Por lo tanto, la suma de la serie dada es

[matemáticas] \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {{\ alpha} ^ n – {\ beta} ^ n} {2 ^ n } = \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {\ alpha} {2} \ right) ^ n – \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {\ beta} {2} \ right) ^ n \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ dfrac {\ frac {\ alpha} {2}} {1- \ frac {\ alpha} {2}} – \ dfrac {\ frac {\ beta} {2}} {1- \ frac {\ beta} {2}} \ right) [/ math]

[math] = \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ left (\ dfrac {\ alpha} {2- \ alpha} – \ dfrac {\ beta} {2- \ beta} \ right) [/ math ]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {\ sqrt {5}} \ dfrac {2 (\ alpha- \ beta)} {4–2 (\ alpha + \ beta) + \ alpha \, \ beta} [/ math]

[matemática] = 2 [/ matemática], ya que [matemática] \ alpha + \ beta = 1 [/ matemática] y [matemática] \ alpha \, \ beta = -1 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]