Si [matemática] X \ sim \ text {U} (0,1) [/ matemática], entonces qué es [matemática] P (\ text {min} (X, 1-X) <\ frac {1} {4 })[/matemáticas]?

Answer 1

Si [math] X \ sim \ text {U} (0,1) [/ math], entonces qué es [math] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) [/ math ]

Ese no es demasiado difícil de entender, la probabilidad es 1/2.

Así es como resolverías eso:

[matemáticas] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = P ((X <1/4) \ cup (1-X <1/4)) [/ matemáticas]

[matemática] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = P ((X 3/4)) [/ matemática]

El evento [matemática] X 3/4 [/ matemática] son ​​mutuamente excluyentes, no pueden ocurrir al mismo tiempo. Eso nos da:

[matemática] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = P (X 3/4) [/ matemática]

[matemáticas] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = (P (X <0) + P (0 \ le X 1 ) + P (1 \ ge X> 3/4)) [/ matemáticas]

Como X es uniforme de 0 a 1, las probabilidades para más de 1 o menos de 0 son 0.

[matemática] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = P (0 \ le X 3/4) [/ matemática]

[matemáticas] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = \ dfrac {1/4 – 0} {1-0} + \ dfrac {1-3 / 4} {1- 0} [/ matemáticas]

[matemática] P (\ text {min} (X, 1-X) <1/4) = 1/4 + 1/4 = 1/2 [/ matemática]

Answer 2

La intuición dice 1/2. Lo mismo ocurre con la simulación (este es el código R, pero debería ser bastante claro y fácil de replicar en otros idiomas). :

set.seed (1234)
Números <- 100000
x1 <- vector ("numérico", números)
minval <- vector ("numérico", numvals)
x1 <- runif (números, 0, 1)
inv <- 1-x1

para (i en 1: valores numéricos)
minval [i] <- min (x1 [i], inv [i])

sum (minval <0.25) / length (minval) # 0.4996