¿Por qué convergen algunas funciones que van al infinito? Por ejemplo, la integral de (1 / (sqrt (x-1)) de 0 a 1. ¿No hay una altura infinita?

Answer 1

¿Por qué convergen algunas funciones que van al infinito? Por ejemplo, la integral de (1 / (sqrt (x-1)) de 0 a 1. ¿No hay una altura infinita?

Creo que te refieres a 1 / sqrt (1-x). Su función es imaginaria en el intervalo (0, 1).

Sí, de hecho hay una altura infinita. Pero el ancho se estrecha mucho más rápido que la altura aumenta.

Voltea ese gráfico de izquierda a derecha sobre la línea x = 0.5. La función se convierte en 1 / sqrt (x). Ahora voltéalo sobre la línea diagonal y = x. Eso es tomar la función inversa. Si y = 1 / sqrt (x) entonces x = 1 / y ^ 2. La integral de esta función desde y = 1 hasta el infinito es la misma que su integral. Esto me resulta más fácil de describir. Reemplace el gráfico por una función de paso que tome el valor 1 / n ^ 2 en el intervalo n a n + 1. Esto tiene un gráfico sobre el gráfico de 1 / y ^ 2. Entonces, si la suma de la serie 1 / n ^ 2 converge, también lo hará su integral.

Si comprende series infinitas, entonces puede comprender cómo una integral infinita podría converger. Pero en este caso, podría ser más fácil hacer la integral que demostrar directamente que la serie converge.

(En realidad, es fácil ver que la suma de la serie es menor que la integral menos 1. Por lo tanto, la serie converge si la integral lo hace, volviendo la cabeza al problema, por así decirlo).

Por cierto, la integral es 1 y la suma de las series 1 / n ^ 2 es pi ^ 2/6.

Answer 2

Hay pruebas de convergencia de series infinitas.

1/2 + 1/4 + 1/8 +… + 1/2 ^ n como n >>> el infinito converge

mientras

1/2 + 1/3 +1/4 + 1/5 +… + 1 / n cuando n >>> se acerca al infinito no

Su ejemplo int (sqrt (x – 1)) ^ (- 1) dx = int (1-x) ^ – (1/2) dx = 2/3 (1 – x) ^ 3/2 [0,1] = 2/3

Converge. La función (sqrt (x – 1)) ^ (- 1) es continua sobre [0,1] con punto de discontinuidad en el intervalo.

El límite de una función es la función del límite.