Para obtener [matemática] 5 ^ 2 \ cdot 4 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 2 ^ 2 \ cdot 1 ^ 2 [/ math], puede simplemente cuadrar el factorial, ya que el cuadrado de un producto es el producto de Los factores al cuadrado.
[matemáticas] (5!) ^ 2 = 5 ^ 2 \ cdot 4 ^ 2 \ cdot 3 ^ 2 \ cdot 2 ^ 2 \ cdot 1 ^ 2 [/ matemáticas]
Más generalmente:
[matemáticas] (n!) ^ m = n ^ m \ cdot (n-1) ^ m \ cdot (n-2) ^ m \ dots 3 ^ m \ cdot 2 ^ m \ cdot 1 ^ m [/ math]
- Cómo resolver [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin ^ 2x} {\ cos ^ 2x} \, dx [/ math]
- ¿Qué es 2 * 5-5?
- ¿Cuál es la solución para expresar 2 ^ i en forma de ax + bi?
- Si una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en el intervalo de [0,1], ¿cuál es la distribución de -2log (X)?
- ¿Cuál es el número máximo de veces que puedo repetir la acción de poner la salida de log (x) en log (x) para un número real x?
Para obtener el segundo, debe ver lo siguiente:
[matemáticas] \ begin {ecation} \ label {factexp} \ begin {split} 5 ^ 5 \ cdot 4 ^ 4 \ cdot 3 ^ 3 \ cdot 2 ^ 2 \ cdot 1 ^ 1 & = (5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2 \ cdot 1) \\ & \ cdot (5 \ cdot 4 \ cdot 3 \ cdot 2) \\ & \ cdot (5 \ cdot 4 \ cdot 3) \\ & \ cdot (5 \ cdot 4) \\ & \ cdot (5) \ end {split} \ end {ecation} [/ math]
Para que pueda llegar a:
[matemáticas] 5! \ cdot \ frac {5!} {1!} \ cdot \ frac {5!} {2!} \ cdot \ frac {5!} {3!} \ cdot \ frac {5!} {4!} [/ matemáticas]
Para generalizar:
[matemáticas] n ^ n \ cdot (n-1) ^ {n-1} \ cdot (n-2) ^ {n-2} \ dots 2 ^ 2 \ cdot 1 ^ 1 = n! \ prod \ limits_ {i = 1} ^ n \ frac {n!} {i!} [/ math]
De una manera más simple, mantienes n! en la parte superior y aumentar la parte inferior:
[matemáticas] n ^ n \ cdot (n-1) ^ {n-1} \ cdot (n-2) ^ {n-2} \ dots 2 ^ 2 \ cdot 1 ^ 1 = n! \ cdot \ frac {n!} {1!} \ cdot \ frac {n!} {2!} \ cdot \ frac {n!} {3!} \ dots \ frac {n!} {(n-3) !} \ cdot \ frac {n!} {(n-2)!} \ cdot \ frac {n!} {(n-1)!} [/ math]