Si es cierto.
Observa eso:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ zeta (6n-2) -1 \ right) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (\ frac {1} {k ^ {6n-2}} – 1 \ right) [/ math].
Como para [matemática] k = 1 [/ matemática] el primer término es igual a [matemática] 1 [/ matemática], podemos reescribir nuestra serie doble como:
- ¿Cuál es el valor de x, 8x = 80?
- ¿Cómo se pueden manipular los polinomios simétricos de tres variables para devolver la solución a un polinomio cúbico?
- Produzca la gráfica de la curva [matemática] 100x ^ 2 y ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática], explicando sus simetrías implícitas en la ecuación. ¿Es una curva cerrada? Calcule la longitud de su camino.
- ¿Cómo se hace esto: 2x menos 4 sobre 3x más 6 es igual a 2 sobre 5?
- Una partícula de masa m está inicialmente en reposo en x = 0. Se actúa mediante una fuerza [matemática] F = Acosh (\ beta t) [/ matemática]. Demuestre que para valores pequeños de t, la posición es aproximadamente [matemática] x (t) = \ frac {1} {2} \ frac {F_0} {m} t ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] F_0 = F (t = 0) [/ matemáticas]?
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ zeta (6n-2) -1 \ right) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {6n-2}} [/ math].
Si la serie es convergente (dejo esa parte para que la verifique usted mismo), podemos intercambiar el orden de suma:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {6n-2}} = \ sum_ {k = 2 } ^ {\ infty} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {6n-2}} [/ math].
Ahora, la suma correcta es solo una serie geométrica:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {k ^ {6n-2}} = k ^ 2 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ( \ frac {1} {k ^ 6} \ right) ^ n = k ^ 2 \ frac {1} {k ^ 6-1} = \ frac {k ^ 2} {k ^ 6-1} [/ math] .
Entonces, simplemente tenemos que evaluar las siguientes series:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ frac {k ^ 2} {k ^ 6-1} [/ matemáticas].
Hay un método general para evaluar series de funciones racionales que involucran funciones de poligamia (vea mi respuesta: ¿qué es [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ frac {n} {n ^ 4 + 2n ^ 2 +1} [/ matemáticas]?). Pero, en cambio, podemos buscar una forma cerrada para las sumas parciales. Para hacer eso, dividamos la fracción en partes (omito cálculos desagradables):
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {k ^ 2} {k ^ 6-1} = \ frac {1} {6} \ left (\ frac {1} {k-1} – \ frac {1} {k + 1} + \ frac {1-2k} {1-k + k ^ 2} + \ frac {1 + 2k} {1 + k + k ^ 2} \ right) [/ math].
Comencemos por la siguiente suma parcial (olvide la constante por la simplicidad):
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ n \ left (\ frac {1} {k-1} – \ frac {1} {k + 1} \ right) [/ math].
Esta suma parcial es casi una suma telescópica:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ n \ left (\ frac {1} {k-1} – \ frac {1} {k + 1} \ right) = 1 + \ frac {1} { 2} – \ frac {1} {n} – \ frac {1} {n + 1} [/ math].
La segunda parte es realmente telescópica:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ n \ left (\ frac {1-2k} {1-k + k ^ 2} + \ frac {1 + 2k} {1 + k + k ^ 2} \ right) = – 1+ \ frac {1 + 2n} {1 + n + n ^ 2} [/ math].
Entonces uno puede verificar que
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 2} ^ n \ frac {k ^ 2} {k ^ 6-1} = \ frac {1} {6} \ left (1+ \ frac {1} {2} – \ frac {1} {n} – \ frac {1} {n + 1} -1+ \ frac {1 + 2n} {1 + n + n ^ 2} \ right) = \ frac {1} {12 } – \ frac {1} {6n} – \ frac {1} {6 (n + 1)} + \ frac {1 + 2n} {6 (1 + n + n ^ 2)} [/ math]
Cuando [math] n [/ math] tiende al infinito, solo nos queda [math] \ tfrac {1} {12} [/ math], según se desee.