Tratemos de explorar las formas en que se puede resolver la integral dada, ya que se observa que no se puede resolver simplemente con la ayuda de funciones elementales.
Se puede intentar encontrar una solución aproximada a la integral al encontrar la expansión de la serie de potencias del integrando [math] \ displaystyle e ^ {\ arctan {(x ^ 2)}} [/ math] alrededor de [math] x = 0 [/matemáticas]. Esto se puede hacer con Mathematica escribiendo el código:
Serie [E ^ ArcTan [x ^ 2], {x, 0, 20}]
El resultado o respuesta obtenida es:
- Cómo integrar [matemáticas] \ int \ frac {dx} {\ sqrt {1 + e ^ {2x}}} [/ matemáticas]
- Cómo integrar (2x ^ 2-x) logx dx
- ¿Cuál es el conjunto completo de valores de ‘a’ tal que f (x) tiene un mínimo local en x = 3?
- Cómo integrar [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {x} {1 + \ cos x} \, dx [/ math]
- ¿Cuál es el límite de \ sum_n [a ^ n – b ^ n] cuando n se acerca al infinito y dónde converge?
[matemáticas] {\ displaystyle \ frac {17321 x ^ {20}} {145152} – \ frac {1163 x ^ {18}} {72576} – \ frac {1219 x ^ {16}} {8064} – \ frac {x ^ {14}} {1008} + \ frac {29 x ^ {12}} {144} + \ frac {x ^ {10}} {24} \\ \ displaystyle – \ frac {7 x ^ 8} {24} – \ frac {x ^ 6} {6} + \ frac {x ^ 4} {2} + x ^ 2 + 1 + O \ left (x ^ {21} \ right)} [/ math]
Usando la expansión de la serie de potencia anterior en la integración y escribiendo el código:
Integrar [Normal [Serie [E ^ ArcTan [x ^ 2], {x, 0, 20}]], x]
obtenemos la siguiente solución o resultado:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int e ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)} \, dx \\ \ approx \ displaystyle \ frac {17321 x ^ {21}} {3048192} – \ frac {1163 x ^ {19}} {1378944} – \ frac {1219 x ^ {17}} {137088} – \ frac {x ^ {15}} {15120} \\ \ quad \ displaystyle + \ frac {29 x ^ {13}} {1872} + \ frac {x ^ {11}} {264} – \ frac {7 x ^ 9} {216} – \ frac {x ^ 7} {42} + \ frac {x ^ 5} {10} + \ frac {x ^ 3} {3} + x \\ \ quad + constante} [/ matemática]
La integral dada se puede calcular directamente con Mathematica escribiendo:
Integrar [E ^ ArcTan [x ^ 2], x]
La respuesta o solución simbólica obtenida es:
[matemáticas] {\ displaystyle \ int e ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)} \, dx = xe ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right )} * A + constante} \ quad (1), [/ math]
donde [matemáticas] A [/ matemáticas] es igual a:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (1- \ frac {\ sqrt {1 + e ^ {2 i \ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)}} F_1 \ left (- \ frac {i } {2}; \ frac {1} {2}, – \ frac {1} {2}; 1- \ frac {i} {2}; – e ^ {2 i \ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)}, e ^ {2 i \ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)} \ right)} {\ sqrt {1-e ^ {2 i \ tan ^ { -1} \ left (x ^ 2 \ right)}}} \ right) [/ math]
La serie Appell o la función hipergeométrica de Appell [matemáticas] F_1 [/ matemáticas]
se define para | x | <1, | y | <1 por la serie doble:
[matemáticas] {\ displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = \ sum _ {m, n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( a) _ {m + n} (b_ {1}) _ {m} (b_ {2}) _ {n}} {(c) _ {m + n} \, m! \, n!}} \ , x ^ {m} y ^ {n} ~,} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle F_ {1} (a, b_ {1}, b_ {2}; c; x, y) = \\ \ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {r} (b_ {1}) _ {r} (b_ {2}) _ {r} (ca) _ {r}} {(c + r-1) _ {r} (c ) _ {2r} r!}} * \\ \, x ^ {r} y ^ {r} {} _ {2} F_ {1} \ left (a + r, b_ {1} + r; c + 2r; x \ right) {} _ {2} F_ {1} \ left (a + r, b_ {2} + r; c + 2r; y \ right) ~} [/ math]
donde el símbolo de Pochhammer [math] (q) _n [/ math] representa el factorial ascendente:
[matemáticas] {\ displaystyle (q) _ {n} = q \, (q + 1) \ cdots (q + n-1) = {\ frac {\ Gamma (q + n)} {\ Gamma (q) }} ~,} [/ matemáticas]
donde la segunda igualdad es verdadera para todos los complejos [math] {\ displaystyle q} [/ math] excepto [math] {\ displaystyle q = 0, -1, -2, \ ldots} [/ math].
Para otros valores de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] la función [matemática] F_1 [/ matemática] puede definirse por continuación analítica.
Las funciones trigonométricas inversas también se pueden expresar usando logaritmos complejos, extendiendo así su dominio al plano complejo. Para la tangente inversa o la función arcotangente tenemos:
[matemáticas] {\ displaystyle \ arctan (z) = {\ tfrac {1} {2}} i \ left [\ ln \ left (1-iz \ right) – \ ln \ left (1 + iz \ right) \ derecha]} [/ matemáticas]
Por consiguiente:
[matemáticas] {\ displaystyle \ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right) = \ frac {1} {2} i \ left (\ ln \ left (1-ix ^ 2 \ right) – \ ln \ left (1 + ix ^ 2 \ right) \ right)} [/ math]
Otra forma alternativa útil es la siguiente:
[matemáticas] {\ displaystyle e ^ {\ tan ^ {- 1} \ left (x ^ 2 \ right)} = e ^ {\ frac {1} {2} i \ left (\ ln \ left (1-ix ^ 2 \ right) – \ ln \ left (1 + ix ^ 2 \ right) \ right)} = \ left (1-ix ^ 2 \ right) ^ {i / 2} \ left (1 + ix ^ 2 \ derecha) ^ {- \ frac {i} {2}}} [/ math]
Usando la forma alternativa del integrando, se encuentra que la integral es igual a (verificado con Mathematica):
[matemáticas] \ displaystyle \ int e ^ {\ frac {1} {2} i \ left (\ ln \ left (1-ix ^ 2 \ right) – \ ln \ left (1 + ix ^ 2 \ right) \ derecha)} \, dx \\ \ displaystyle = \ int \ left (1-ix ^ 2 \ right) ^ {i / 2} \ left (1 + ix ^ 2 \ right) ^ {- \ frac {i} { 2}} \, dx \\ \ displaystyle = x F_1 \ left (\ frac {1} {2}; – \ frac {i} {2}, \ frac {i} {2}; \ frac {3} { 2}; ix ^ 2, -ix ^ 2 \ right) + constante \ quad (2) [/ math]
Mathematica no pudo determinar que los resultados [matemática] (1) [/ matemática] y [matemática] (2) [/ matemática] sean equivalentes y los mismos.
Las diferencias entre las respuestas [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas] pueden explicarse por el hecho de que uno de los resultados es válido en parte del intervalo o parte del dominio de El otro resultado.
