Las otras respuestas, si bien son correctas en sus declaraciones, son incorrectas al responder su pregunta. De hecho, para cualquier [matemática] x [/ matemática], si acepta que [matemática] \ left | x – 2 \ right | = – \ left | 1-x \ right | [/ math] es verdadero, entonces debe aceptar que [math] (x-2) ^ 2 = (1-x) ^ 2 [/ math] es verdadero para aquellos [math] x [/ matemáticas].
Examinemos la primera declaración.
[matemáticas] \ izquierda | x – 2 \ derecha | = – \ izquierda | 1-x \ right | [/ math].
Como otros han señalado correctamente, esta ecuación no tiene soluciones. Sin embargo, implica [matemáticas] (x-2) ^ 2 = (1-x) ^ 2 [/ matemáticas]. Hay una distinción útil para hacer; Esta implicación es vacuamente cierta .
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Recuerde que nuestra definición de implicación es que cualquier solución de la primera ecuación debe ser una solución de la segunda, o de manera equivalente, el conjunto de soluciones para la primera ecuación es un subconjunto de las de la segunda.
Claramente, dado que el conjunto de soluciones para la primera ecuación es el conjunto vacío, [math] \ emptyset [/ math], es un subconjunto del conjunto de soluciones de [math] (x-2) ^ 2 = (1-x ) ^ 2 [/ matemáticas].
Sin embargo, según el Principio de Explosión, también podemos demostrar que [matemáticas] (x-2) ^ 2 \ neq (1-x) ^ 2 [/ matemáticas]. Bueno, parece que tenemos una contradicción en nuestras manos; ¿Cómo puede algo ser verdadero y no verdadero al mismo tiempo? La contradicción se resuelve en el hecho mencionado anteriormente de que [matemáticas] \ left | x – 2 \ derecha | = – \ izquierda | 1-x \ right | [/ math] nunca es cierto, por lo que nunca tenemos una contradicción aquí.
Algunos de ustedes pueden estar preguntando en este punto, “¿Cuál es la diferencia?” Y “¿No están siendo pedantes?”
No soy. La verdad vacía es un concepto útil, porque nos permite establecer teoremas generales de una manera sin un montón de casos extremos.
Por ejemplo, ahora puedo afirmar que si [math] a = b [/ math] para algún conjunto de soluciones, donde [math] a [/ math] y [math] b [/ math] son expresiones arbitrarias, entonces [math] f (a) = f (b) [/ math] se cumple para ese conjunto de soluciones, donde [math] f [/ math] es una función de un solo valor.
No necesito calificar mi declaración diciendo que el conjunto de soluciones no debe estar vacío.
Además, la verdad vacía nos permite mantener intacto el concepto de contrapositivo lógico. Para una declaración [math] p \ rightarrow q [/ math], la declaración [math] \ neg q \ rightarrow \ neg p [/ math] siempre es válida. Si p fuera verdadero yq fuera verdadero, [math] T \ rightarrow T [/ math] debería ser equivalente a [math] F \ rightarrow F [/ math]. Esto funciona muy bien, porque la última afirmación es verdaderamente verdadera. Definirlo de otra manera resultaría en un sistema desordenado.
Finalmente, para cerrarlo todo, modifiquemos el ejemplo.
Si [matemáticas] \ izquierda | x – 2 \ derecha | = – \ izquierda | 1-x \ right | [/ math], luego [math] – (x-2) ^ 2 = (1-x) ^ 2 [/ math]. Tenga en cuenta el signo negativo adicional en la segunda ecuación. Tomando [math] x [/ math] para estar en los números reales, ambas ecuaciones son demostrablemente falsas para todas [math] x [/ math].
Sin embargo, el contrapositivo es lógicamente equivalente a la declaración, así que vamos a decirlo así:
Si [matemática] – (x-2) ^ 2 \ neq (1-x) ^ 2 [/ matemática], entonces [matemática] \ izquierda | x – 2 \ derecha | \ neq – \ left | 1-x \ right | [/ math]. Ambas expresiones son claramente ciertas. Por lo tanto, deben implicarse mutuamente. Por lo tanto, la afirmación es cierta.