¿Cómo podemos demostrar que para cualquier par de números naturales x> 1 yn> 1 lo siguiente siempre es cierto: [matemática] x ^ n> n [/ matemática]? Entiendo que parece obvio, pero me pregunto si hay una prueba general.

Answer 1

Gracias por el A2A!

Tenga en cuenta que desde [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas], [matemáticas] x ^ n \ geq 2 ^ n> n [/ matemáticas]. Probemos que [matemáticas] 2 ^ n> n [/ matemáticas] por inducción. Demuestre que es cierto para [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 ^ 2 = 4> 2 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Sencillo. Ahora, suponga que es cierto para algunas [matemáticas] n = k [/ matemáticas]. Demuestre que debe ser cierto para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas]. Tenemos que [matemáticas] 2 ^ k> k [/ matemáticas]. Multiplicar ambos lados por [matemáticas] 2 [/ matemáticas]:

[matemáticas] 2 \ cdot 2 ^ k = 2 ^ {k + 1}> 2k> k + 1 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

¡Y así está probado!

Prueba de que [matemática] 2k> k + 1 [/ matemática] para algunos [matemática] 1 <k \ in \ mathbb {Z} [/ matemática] le queda al lector.

Answer 2

Suponga que [math] n \ geq 2 [/ math] y [math] x \ geq 2 [/ math]. (Por supuesto, no hay números naturales entre 1 y 2).

Entonces [matemáticas] x ^ n \ geq 2 ^ n [/ matemáticas], así que si podemos mostrar que [matemáticas] 2 ^ n> n [/ matemáticas] hemos terminado.

Prueba por inducción: [matemática] 2 ^ 2> 2 [/ matemática]. Si [matemática] 2 ^ k> k [/ matemática], entonces [matemática] 2 ^ {k + 1}> 2k> k + 1 [/ matemática], siempre que [matemática] k> 1 [/ matemática].

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Prueba alternativa:

De los supuestos si se sigue que [math] n> \ log_2 n \ geq 1 [/ math] y [math] \ log_2 x \ geq 1 [/ math]. (La primera desigualdad es la clave, y puede probarse por inducción como anteriormente o por las propiedades de los logaritmos).

Como ambos son positivos, podemos combinar las dos desigualdades para obtener:

[matemáticas] n \ log_2 x> \ log_2 n [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] es monótono, entonces

[matemáticas] 2 ^ {\ log_2 x ^ n}> 2 ^ {\ log_2 n} [/ matemáticas]

y por lo tanto [matemáticas] x ^ n> n [/ matemáticas].

Answer 3

Escriba [matemáticas] x [/ matemáticas] como [matemáticas] 1 + (1 + y) [/ matemáticas] para algún número natural [matemáticas] y [/ matemáticas]. Entonces, lo que quiere mostrar es que [matemáticas] (1 + (1 + y)) ^ n> n [/ matemáticas]. Pero puede expandir el lado izquierdo por el teorema binomial a [matemáticas] 1 + n (1 + y) + \ dots \ geq 1 + n> n [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] es mayor que [matemáticas] n [/ matemáticas].

Esto es básicamente lo mismo que la respuesta de Doug Hensley a ¿Cómo podemos probar que para cualquier par de números naturales x> 1 yn> 1 lo siguiente siempre es cierto: [matemáticas] x ^ n> n [/ matemáticas]? Entiendo que parece obvio, pero me pregunto si hay una prueba general ?, pero presentada de manera diferente, en caso de que alguien quisiera verla con un sabor más abiertamente “aritmético”. (Dicho esto, prefiero la presentación de Doug; solo escribí esto para establecer la conexión con el teorema binomial que otros quizás no conocían)

Tenga en cuenta también que no necesitamos la restricción “n> 1”; esto funciona para n = 1 o n = 0 también.

Answer 4

Sea x = 2. Claramente 2 ^ 1 = 2> 1. Ahora suponga que 2 ^ n> n. Entonces 2 ^ (n + 1) = 2 * 2 ^ n> 2n = n + n> n + 1. Así, por inducción, 2 ^ n> n para todos los números naturales n.

Para y> 2, y ^ n> 2 ^ n> n.

Answer 5

En un espíritu diferente de las otras pruebas, ¿cómo es esto: [matemáticas] x ^ n [/ matemáticas] es el número de cadenas de símbolos de longitud [matemáticas] n [/ matemáticas] de un alfabeto con [matemáticas] x [/ matemáticas] Personajes distintos. Esto se debe a que hay [matemáticas] x [/ matemáticas] formas de elegir la primera letra de la cadena de símbolos, y luego para cada una de ellas, [matemáticas] x [/ matemáticas] formas de elegir la siguiente, y así sucesivamente.

Los caracteres en este alfabeto también pueden ser [matemática] (0,1, \ ldots, x-1) [/ matemática]. Así que ahora considere solo cadenas de la forma todos los 0 aparte de un solo 1. Hay [matemáticas] n [/ matemáticas] lugares a los que podría ir 1, por lo que el número de este tipo de cadena es [matemáticas] n [/ matemáticas]. Pero también hay otras cadenas; todo 1 califica. Fin de la prueba.

Esto barre un poco las cosas debajo de la alfombra, porque el “y así sucesivamente” requiere una prueba por inducción para resolver el asunto a menos que ya haya visto ese argumento. Pero hay muchas preguntas que se pueden resolver mirándolas en el espíritu de “¿qué pregunta de conteo está relacionada con esta fórmula?” Entonces, es una forma divertida de verla.

Answer 6

Podrías hacerlo fácilmente con algún cálculo, pero creo que un enfoque más elemental sería usar la inducción. Tenga en cuenta que [math] 2 ^ 2> 2 [/ math] como caso base.

Luego tenga en cuenta que para [math] n \ geq 1 [/ math] y [math] x> 2 [/ math], [math] x ^ n> 2 ^ n [/ math], entonces solo tenemos que demostrarlo para [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Finalmente, asumimos que es cierto para todos los n desde 2 hasta algunos k, y queremos mostrar que [matemáticas] 2 ^ {k + 1}> k + 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] 2 ^ {k + 1} = 2 \ cdot 2 ^ k> 2k [/ matemáticas] por la hipótesis de inducción.

Pero [matemática] 2k> k + 1 [/ matemática] para todos [matemática] k> 1 [/ matemática], por lo que se completa el paso de inducción.

BAWX!

Answer 7

Una prueba similar a algunas de las otras respuestas, pero sin usar inducción:

Suponga que [math] x, n \ in \ mathbb {N} [/ math], [math] x \ geq 2 [/ math], [math] n \ geq 2 [/ math]. Tenga en cuenta que [math] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} {2 ^ {k}} = 2 ^ {n} -1 [/ math] (para ver esto, intente restar [math] 1 [/ math] desde la base- [math] 2 [/ math] [1] representación de [math] 2 ^ {n} [/ math]).

Entonces [matemáticas] \ displaystyle x ^ {n} \ geq 2 ^ {n}> 2 ^ {n} -1 = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} {2 ^ {k}}> \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} {1} = n [/ matemáticas] ∎

Notas al pie

[1] Número binario – Wikipedia

Answer 8

Como [math] 2 \ leq x \ in \ mathbb {N} [/ math] siempre mantiene que [math] x ^ n \ geq 2 ^ n. [/ Math] Eso significa que es suficiente para mostrar [math] 2 ^ n> n [/ math] para todos [math] n \ geq 2. [/ math] Esto puede hacerse por inducción. En el caso [matemática] n = 2 [/ matemática] la desigualdad obviamente es válida. Luego, en el paso de inducción [math] n \ to n + 1, [/ math] tenemos

[matemáticas] 2 ^ {n + 1} = 2 \ cdot 2 ^ n> 2n> n + 1. [/ matemáticas]

Answer 9

Usar inducción.

Caso base n = 1. Ya tienes x> 1, entonces x ^ 1> 1.

Suponga que x ^ k> k.

Doble ambos lados, 2x ^ k> 2k.

Entonces, dado que x> = 2, x ^ (k + 1)> 2x ^ k.

k> = 1 significa que 2k> = k + 1.

Peinar las líneas anteriores da

x ^ (k + 1)> 2x ^ k> 2k> = k + 1.

Entonces x ^ (k + 1)> k + 1.

Luego, por inducción x ^ n> n para todos los números naturales n.

Answer 10

X ^ n> n.

Resta 1 de ambos lados. Factoriza X ^ n – 1 ^ n. Poner X-1 = t, n – 1 = m. Una pequeña expansión de X – 1 en el soporte. Y clasifica los factores. Te preguntarás

Answer 11

X ^ n> = 2 ^ n para X> = 2

2 ^ (n) = 2 * 2 *… * 2 (n veces)

Para cualquier X> = 2, 2X- (X + 2) = X-2> = 2-2 = 0

Entonces 2X> = X + 2 para cualquier x> = 2

Entonces 2 * 2 *… * 2 (n veces)> = 2 + 2 +… + 2 (n veces)

y 2 + 2 +… + 2 (n veces) = n * 2> n

Entonces X ^ (n)> n

Answer 12

Probablemente comenzaría tomando la raíz enésima de ambos lados y luego demostrando que la raíz enésima de n es menor que 2 para n> 1. Esa parte es probablemente la parte difícil. Es fácil de ver gráficamente, pero es difícil de probar.

También podrías intentar restar n de ambos lados y usar reglas de polinomios para probar esto.