Tengamos cuatro cuadrantes, con una línea horizontal X ‘OX y una línea vertical Y OY’ que pasa por el origen O. Las dos líneas rectas dividen la hoja en 4 cuadrantes, el primer cuadrante es XOY, el segundo cuadrante es X ‘OY, el tercer cuarenteno es X ‘O Y’ y el cuarto cuadrante es XO Y ‘.
Ahora deje que dos líneas coincidan en la línea OX. Deje que el brazo giratorio OP comience a girar en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces el ángulo P OX, ya sea que OP descanse en el primer, segundo, tercer o cuarto cuarenteno, se toma como positivo. Si la rotación se toma en sentido horario, el ángulo se toma como negativo.
Ahora definamos las relaciones trignométricas, seno, coseno, tangente y sus co-relaciones.
Deje que OP esté en el primer cuadrante. Llamemos a la longitud de OP como r. Desde el punto P, deje caer una perpendicular en el eje X. Deje que la perpendicular de P se cruce con OX en un punto M. Deje OM = base = b y deje PM = ángulo opuesto del lado (POM = ß) = h de la derecha ∆ PMO. Entonces las relaciones trignométricas para el ángulo ß se definen como
Seno ß = sin ß = h / r, ————————————- (1)
Coseno ß = cos ß = b / r, ———-————————- (2)
Tangente ß = tan ß = sin ß / cos ß = h / b, —-———— (3)
Secante ß = sec ß = 1 / cos ß = r / b, —-——————— (4)
Cosecante ß = cosec ß = 1 / sen ß = r / p, —-—————— (5)
Cotangente ß = cot ß = 1 / tan ß = b / h, ———————- (6).
Estas relaciones se definen de manera similar en todos los cuadrantes. Desde el punto P, deje caer una perpendicular en la línea X’OX, donde sea que se cruce con el eje XOX ‘, la distancia de ese punto desde el origen es la base b. La longitud de la perpendicular desde el punto P hasta el XOX ‘es la altura h del triángulo.
La longitud del brazo giratorio siempre se toma como positiva, por lo que r siempre es pisitiva. En el primer cuadrante, la base b, la altura h y la hipotenusa r son todas positivas. Entonces todas las relaciones trignométricas son positivas.
En el segundo cuadrante, la base se encuentra en el eje X negativo, por lo que la base b es negativa, pero h se encuentra en el eje Y positivo, por lo que h es positiva. Entonces, en el segundo cuadrante, solo el seno (cosecante) es positivo. Todas las otras razones son negativas.
En el tercer cuadrante, tanto la base b como la altura h son negativas. Por lo tanto, todas las relaciones trignométricas, excepto tan (cot), son negativas. En el tercer cuadrante, el bronceado (cot) es positivo.
En el cuarto cuadrante, la base b es positiva, h es negativa. Entonces, en el cuarto cuadrante solo los cos (seg) son positivos, el resto de las razones son negativas.
Para recordar qué razones son positivas en qué cuadrante, solo recordamos solo la relación positiva en ese cuadrante. Así que recuerda, TODOS, SINE, TAN, COS.
Entonces, cuando el ángulo es -ß, el sin (-ß) está en el cuarto cuadrante, donde sinß es negativo. Por lo tanto
Sin (-ß) = – Sin ß.
Pero en el cuarto cuadrante, Cos es positivo. Por lo tanto,
Cos (-ß) = Cos ß.
Precaución: Suponga que ß es un ángulo agudo.
