¿Cómo se demuestra que [matemáticas] \ frac {-x ^ {3} -2x ^ {2} + 19x + 20} {2x ^ {2} + 12x + 10} [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 2 – \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]?

Answer 1

La mejor manera es con una división larga polinómica. Pasé mucho tiempo trabajando en esto [matemáticas] \ LaTeX [/ matemáticas] para mostrar esto correctamente, espero que alguien aprecie el trabajo.

[matemáticas] \ mspace {210mu} \; – \ frac {1} {2} x + 2 \\ 2x ^ 2 + 12x + 10 {\ Big |} \ mspace {-4.1mu} \ overline {\ mspace {3 mu} -x ^ 3 – 2x ^ 2 + 19x + 20} \\ \ mspace {120mu} \ subrayado {-x ^ 3 -6x ^ 2 – \ mspace {9mu} 5x} \\ \ mspace {173mu} 4x ^ 2 + 24x + 20 \\ \ mspace { 173mu} \ subrayado {4x ^ 2 + 24x + 20} \\ \ mspace {278mu} 0 [/ matemática]

Primero, observa que [matemáticas] -x ^ 3 [/ matemáticas] es [matemáticas] – \ frac {1} {2} x [/ matemáticas] veces [matemáticas] 2x ^ 2 [/ matemáticas], entonces escribe [ matemática] – \ frac {1} {2} x [/ matemática] en la parte superior, luego multiplique [matemática] 2x ^ 2 + 12x + 10 [/ matemática] por [matemática] – \ frac {1} {2} x [/ math] y escríbelo a continuación para restarlo.

Después de restar, te quedan [matemáticas] 4x ^ 2 + 24x + 20 [/ matemáticas]. El 20 fue llevado abajo. Observe que [matemática] 4x ^ 2 [/ matemática] es 2 veces [matemática] 2x ^ 2 [/ matemática], por lo que agrega [matemática] +2 [/ matemática] en la parte superior y luego multiplica [matemática] 2x ^ 2 + 12x + 10 [/ math] por 2 y escríbalo a continuación para restarlo. Eso deja un resto de 0, lo que significa que se divide de manera uniforme. En otras palabras:

[matemáticas] \ dfrac {-x ^ 3 – 2x ^ 2 + 19x + 20} {2x ^ 2 + 12x + 10} = – \ frac {1} {2} x + 2 [/ matemáticas]

Por supuesto, puede cambiar el orden de los términos para obtener:

[matemáticas] 2 – \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]

Answer 2

Para facilitar esto, factoricemos tanto la parte superior como la inferior.

Comencemos con la parte inferior, ya que es un poco más simple:

[matemáticas] 2 (x ^ 2 + 6x + 5) = 2 [(x + 5) (x + 1)] [/ matemáticas]

Eso fue bastante simple. Para la parte superior, usemos primero el teorema del factor y demostremos que cuando [math] x = -1 [/ math] la expresión es igual a [math] 0 [/ math]:

[matemáticas] – (- 1) ^ 3 – 2 (-1) ^ 2 +19 (-1) +20 = 1 – 2 – 19 + 20 = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] (x + 1) [/ math] es un factor. Esto significa que puede comparar coeficientes para comenzar a factorizar:

[matemáticas] (x + 1) (ax ^ 2 + bx + c) = \ fx [/ matemáticas]

Comparando [matemática] x ^ 3 [/ matemática] coeficientes, [matemática] a = -1 [/ matemática]

Comparando [matemática] x ^ 0 [/ matemática] coeficientes, [matemática] c = 20 [/ matemática]

Comparando los coeficientes [matemática] x ^ 2 [/ matemática],

[matemáticas] b + a = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b = -1 [/ matemáticas]

Por lo tanto

[matemáticas] \ fx = (x + 1) (- x ^ 2 – x + 20) [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x + 1) (4-x) (x + 5) [/ matemáticas]

Ensamblando esto en una fracción y cancelando:

[matemáticas] \ dfrac {(x + 1) (4-x) (x + 5)} {2 (x + 5) (x + 1)} = \ dfrac {4-x} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 – \ frac {x} {2} [/ matemáticas]

QED

Answer 3

La forma más simple es la división polinómica. Al igual que divide los números en papel. Mire los coeficientes iniciales y verá que el numerador es [math] -x / 2 [/ math] del denominador. Multiplique [math] -x / 2 [/ math] con el denominador para obtener [math] -x ^ 3–6x ^ 2–5x [/ math]. Restarlo del numerador, y obtendrá [matemática] 4x ^ 2 + 24x + 20 [/ matemática], que obviamente es 2 * denominador, el resultado es el deseado – [matemática] x / 2 + 2 [/ matemática]

Answer 4

Gracias por el A2A!

Otros han señalado que podría usar la división larga polinómica, por lo que propondré otra forma, como dijo “probar” y no “derivar”:

[matemáticas] \ frac {-x ^ 3-2x ^ 2 + 19x + 20} {2x ^ 2 + 12x + 10} \ stackrel {?} {=} 2- \ frac {1} {2} x [/ matemáticas ]

[matemática] \ Leftrightarrow -x ^ 3-2x ^ 2 + 19x + 20 \ stackrel {?} {=} (2- \ frac {1} {2} x) (2x ^ 2 + 12x + 10) = (4 -x) (x ^ 2 + 6x + 5) = 4x ^ 2 + 24x + 20-x ^ 3-6x ^ 2-5x = -x ^ 3 + (4-6) x ^ 2 + (24-5) x + (20) = – x ^ 3-2x ^ 2 + 19x + 20 [/ matemáticas]

Entonces está probado.

Answer 5

Mi forma más simple es la multiplicación polinómica.

Si [matemáticas] \ frac {-x ^ {3} -2x ^ {2} + 19x + 20} {2x ^ {2} + 12x + 10} = 2- \ frac {1} {2} x [/ matemáticas ]

Entonces [matemáticas] (- x ^ {3} -2x ^ {2} + 19x + 20) = (2- \ frac {1} {2} x) · (2x ^ {2} + 12x + 10) [/ matemáticas]

Lo y he aquí:

[matemáticas] (2- \ frac {1} {2} x) · (2x ^ {2} + 12x + 10) = 2 (2x ^ {2} + 12x + 10) – \ frac {1} {2} x (2x ^ {2} + 12x + 10) = [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4x ^ {2} + 24x + 20 -x ^ {3} – 6x ^ 2 – 5x = -x ^ {3} -2x ^ {2} + 19x + 20 [/ matemáticas]

Answer 6

Tenemos, para todos [math] x [/ math] expandiendo

[matemáticas] (2x ^ 2 + 12x + 10) (2- \ frac12x) = – x ^ 3-2x ^ 2 + 19x + 20 [/ matemáticas]

De ahí el resultado al dividir entre [matemáticas] 2x ^ 2 + 12x + 10 [/ matemáticas] para todas [matemáticas] x \ notin \ left \ {- 1, -5 \ right \} [/ matemáticas]

Answer 7

puedes probar que A / B = C probando que A = B * C

así que simplemente haz la multiplicación de (2 – x / 2) y (2x ^ 2 + 12x + 10) y mira lo que obtienes …

Answer 8

La segunda forma más simple es expandir [matemáticas] (2- \ frac {1} {2} x) (2x ^ 2 + 12x + 10) [/ matemáticas]

Answer 9

O el enfoque rápido y sucio que puedes hacer en tu cabeza al multiplicar y ver si obtienes el numerador. Me gusta esto…