Un conjunto cerrado es un conjunto que contiene todos sus puntos límite. Deje que [math] a_0 = (x_0, y_0) [/ math] sea un punto límite arbitrario de [math] A [/ math]. Entonces existe una secuencia de puntos [matemática] \ {a_n = (x_n, y_n): n \ ge 1 \} \ subconjunto A [/ matemática], de modo que [matemática] lim_ {n \ to \ infty} a_n = a_0 [ /matemáticas]. Debido a que esta secuencia está contenida en [math] A [/ math] tenemos que [math] \ forall \ n \ ge 1: x_n ^ 2 + y_n ^ 2 \ le 1 [/ math] y desde [math] f (x , y) = x ^ 2 + y ^ 2 [/ math] es continuo en el plano real, se deduce que [math] x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2 = lim_ {n \ to \ infty} x_n ^ 2 + y_n ^ 2 \ le 1 [/ matemáticas]. Esto significa que [matemática] x_0 \ en A [/ matemática] y dado que [matemática] x_0 [/ matemática] es un punto límite arbitrario, hemos demostrado que [matemática] A [/ matemática] contiene todos sus puntos límite, por lo tanto [ math] A [/ math] está cerrado.
Sea [math] A = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2; x ^ 2 + y ^ 2 \ leq 1 \} [/ matemáticas]. ¿Cómo puedo probar que [math] A [/ math] está cerrado?
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Deje [math] (x_0, y_0) \ notin A [/ math]. Deje [math] P [/ math] denotar el punto [math] (x_0, y_0) [/ math], y deje que [math] O [/ math] denote el origen [math] (0,0) [/ math] . Deje que el segmento de línea [matemática] OP [/ matemática] se encuentre con el círculo unitario [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] en el punto [matemática] Q = (x_1, y_1) [/ matemática]. Deje [math] r = \ frac {1} {2} \, d (P, Q) [/ math]; entonces el círculo centrado en [matemática] P [/ matemática] con radio [matemática] r [/ matemática] no se cruza [matemática] A [/ matemática]. Por lo tanto, [math] (x_0, y_0) [/ math] es un punto interior de [math] \ mathbb R \ setminus A [/ math], lo que demuestra que [math] \ mathbb R \ setminus A [/ math] es un conjunto abierto y, a su vez, que [matemática] A [/ matemática] es un conjunto cerrado . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]
La métrica estándar induce la topología estándar en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math].
En general:
[matemática] A [/ matemática] está cerrada [matemática] \ Leftrightarrow [/ matemática] [matemática] A ^ C [/ matemática] está abierta
en cualquier espacio topológico por definición.
En un espacio métrico, un conjunto está abierto si para cada punto [math] \ epsilon [/ math] -ball alrededor del punto contenido en el conjunto.
Entonces, la estrategia aquí sería mostrar que
[math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] [math] \ setminus A [/ math] está abierto.
Alternativamente, puede usar caracterizaciones de cierre en espacios métricos completos.