¿Cómo se prueba esto? [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {\ ln {(- \ ln {x)}}}} = \ sqrt {\ pi} [/ math]

Answer 1

La función [math] \ displaystyle {f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}}} [/ math] tiene un valor real para [math] 0 <x <\ displaystyle \ frac {1} {e}. [/ math]

Para [matemática] x = \ displaystyle \ frac {1} {e}, \ displaystyle \ sqrt {\ ln (- \ ln (x))} = 0 [/ matemática] y [matemática] f (x) [/ matemática ] es indeterminado.

Para [math] x> \ displaystyle \ frac {1} {e}, f (x) [/ math] es negativo y tiene un valor complejo.

Los resultados anteriores se representan en la siguiente gráfica (realizada con Mathematica). Se puede ver que [math] f (x) [/ math] tiene una singularidad o un punto singular en [math] x = \ displaystyle \ frac {1} {e} \ aprox 0.3678794411714423215955238: [/ math]

Teniendo en cuenta la singularidad, la integral en la pregunta se puede expresar como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ int_0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx = \ int_0 ^ {\ frac {1} {e}} \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx + \ int _ {\ frac {1} {e}} ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx} [/ math]

Las dos integrales (parciales) anteriores se pueden evaluar numéricamente. Se pueden probar diferentes métodos de integración para encontrar un valor numérico, pero una forma buena y eficiente de encontrar una buena aproximación numérica es escribir el siguiente código de Mathematica (para la primera integral):

  NIntegrate [1 / Sqrt [Log [-Log [x]]], {x, 0, 1 / E}, PrecisionGoal -> 10, 
  Precisión de trabajo -> 40]

El resultado o valor numérico obtenido es:

[matemáticas] \ displaystyle {\ int_0 ^ {\ frac {1} {e}} \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx \ aprox 0.7153004035950678768356739370059504266558} [/ matemática ]

Mecanografía:

  NIntegrate [1 / Sqrt [Log [-Log [x]]], {x, 1 / E, 1}, PrecisionGoal -> 10, 
  Precisión de trabajo -> 40]

produce el valor numérico de la segunda integral:

[matemáticas] \ displaystyle {\ int _ {\ frac {1} {e}} ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx \ approx \\ -0.9109156551516618491890112747385715252701 i} [/ matemáticas]

Por lo tanto, la integral total tiene el siguiente valor numérico:

[matemáticas] \ displaystyle {\ boxed {\ displaystyle {\ int_0 ^ 1 f (x) \, dx} = \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {\ ln (- \ ln (x))}} \, dx \\ \ approx 0.7153004035950678768356739370059504266558 \\ \ quad -0.9109156551516618491890112747385715252701 i}} [/ math]

Para una mejor aproximación numérica de la integral, se puede escribir el siguiente código:

  NIntegrate [1 / Sqrt [Log [-Log [x]]], {x, 0, 1}, Exclusiones -> 1 / E, 
  PrecisionGoal -> 30, WorkingPrecision -> 460]

Este resultado obtenido es que la integral dada es numéricamente igual a:

0,7153004035950678768356672965630938688442078199046552849527294615431979575022312518654886856328826615344197068110689720421508639434227668658336787481882313824402213610930904725987080993916414205027446760158818124796365252094105239139293015736659390120044102835982949723754289711907625004194278445195583382977392203373737986219207904582908090242038935350633070405685791000605049389227163852184295692969184810743214901194268461269629545967341695954804084719031792 – i 0,9109156551516618491890194268557628409145246613416878297098085587102322128952827727892997995873266111196343842547991897751016836058629165050593927537996097236073390938750595843017698582747244076607208199822345851244086624234052425756688480459549152577526224813874697087218073853507955108061544048748557774189529183557105015351581315302714514717517962414078228305885881232778236101680667403713968531938692540458628231863194522987806681482456237436995088182695030

De los resultados y cálculos anteriores, parece que la integral en la pregunta no es igual a [math] \ sqrt {\ pi}. [/ Math]

Y se puede verificar con un CAS como Mathematica que:

[matemáticas] \ displaystyle {g (x) = \ int \ frac {1} {\ sqrt {- \ ln (x)}} \, dx = \ frac {\ sqrt {\ pi} \ sqrt {\ ln (x )} \ text {erfi} \ left (\ sqrt {\ ln (x)} \ right)} {\ sqrt {- \ ln (x)}}} + C, [/ math]

donde [math] \ text {erfi} (z) [/ math] es la función de error imaginaria definida como:

[matemáticas] {\ displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {erfi} (x) & = – i \ operatorname {erf} (ix) \\ [5pt] & = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} \, dt \\ [5pt] \ end {alineado}}} [/ math]

Se puede demostrar que la integral [matemática] g (x) [/ matemática] se expresa más simplemente como:

[matemáticas] \ displaystyle {g (x) = – \ sqrt {\ pi} \ text {erf} (- \ ln (x))} + constante [/ matemáticas]

Además, se puede verificar o calcular que:

[matemáticas] \ displaystyle {\ int_0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {- \ ln (x)}} \, dx \\ = \ lim_ {x \ to 1} \, g (x) – \ lim_ {x \ to 0} \, g (x) \\ = \ boxed {\ sqrt {\ pi}}} [/ math]

El último resultado anterior es el obtenido o mostrado por Achintya Gopal en su respuesta. Sin embargo, esto es evidentemente una integral diferente.

Aquí también hay una representación visual de la integral [math] \ displaystyle {\ int_0 ^ 1 \ frac {1} {\ sqrt {- \ ln (x)}} \, dx} [/ math] usando sumas de Riemann (de Wolfram Alfa):

Answer 2

Dadas las otras respuestas, podemos estar seguros de que esta integral está mal, pero parece ser potencialmente correcta. Así que tratemos de derivar la ecuación correcta.

A primera vista, dado que el lado derecho es [math] \ sqrt {\ pi} [/ math], la integral probablemente se origina en la integral gaussiana.

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {e ^ {- x ^ 2} dx} = \ sqrt {\ pi} [/ math]

Mirando esta integral, es convincente que debe ser de donde se deriva: la integral gaussiana tiene un exponencial, la integral anterior tiene un registro; la integral gaussiana tiene un cuadrado, la integral anterior tiene una raíz cuadrada.

Para simplificar más adelante, utilizaremos la integral

[matemáticas] \ int_ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- x ^ 2} dx} = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

Usando la sustitución en U, establecemos [math] x = \ sqrt {-u} [/ math] y [math] dx = – \ frac {1} {2 \ sqrt {-u}} du [/ math], y los límites son [matemática] u_0 = [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] u _ {\ infty} = – [/ matemática] [matemática] \ infty ^ 2 = – \ infty [/ matemática] los cambios integrales a

[matemáticas] \ int_0 ^ {- \ infty} – \ frac {e ^ {u}} {2 \ sqrt {-u}} du = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

Cambiar el nombre de u a x

[matemáticas] \ int_0 ^ {- \ infty} – \ frac {e ^ {x}} {2 \ sqrt {-x}} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

Ahora, sustituyendo nuevamente, configuramos [matemática] u = e ^ {x} [/ matemática], [matemática] x = \ ln {u} [/ matemática] y [matemática] dx = \ frac {1} { u} du [/ math], y los límites cambian a [math] u_0 = e ^ {0} = 1 [/ math] y [math] u _ {- \ infty} = e ^ {- \ infty} = 0 [ / matemáticas], la integral se convierte en

[matemáticas] \ int_1 ^ 0 – \ frac {u} {2 \ sqrt {- \ ln {u}}} \ frac {1} {u} du = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [ /matemáticas]

Intercambiando las condiciones superior e inferior y simplificando consigue

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {2 \ sqrt {- \ ln {u}}} du = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

Y finalmente, multiplicando ambos lados por dos da la integral correcta

[matemáticas] \ int_0 ^ 1 \ frac {dx} {\ sqrt {- \ ln {x}}} = \ sqrt {\ pi} [/ matemáticas]

que está muy cerca de la integral en la pregunta, por lo que la integral original con el extra [math] \ ln [/ math] probablemente fue solo un error tipográfico.

Answer 3

Tuve que usar Wolfram Alpha para este. Las singularidades en 0 y 1 parecen ser manejables tomando límites unilaterales dentro de la región de integración. Sin embargo, la función aumenta a más / menos infinito alrededor de 1 / ey la integral se vuelve no convergente.

Editar: no noté la raíz cuadrada en la pregunta, pero las mismas reglas se aplican en su mayor parte. La integral a la derecha de 1 / e no se vuelve compleja ya que el argumento sería negativo en la raíz. A 1 / e, la función todavía nos sorprende y no es convergente.

Answer 4

puede interesarle saber que si el denominador fuera sqrt [-ln (x)], el resultado sería correcto.

Answer 5

El resultado parece un poco extraño, considerando que la parte imaginaria del integrando es solo cero para x <= 1 / e ~ 0,368, y será negativo para la x más grande.

Entonces, la declaración de la pregunta no es una igualdad; tal vez hay algo mal con la solución o los supuestos?

Answer 6

Demostrando una vez más que no necesariamente puedes creer todo lo que ves impreso:

Gracias de nuevo a todos los que respondieron.

Edición 08–27–2017: Finalmente, el editor reconoció que hay un error tipográfico en la entrada. Supongo que se corregirá en la próxima edición.

Answer 7

Tu integral está mal. El denominador debería haber sido solo √-ln x. Solo entonces converge la integral.