¿Por qué usamos cos con eje x y sin con eje y?

Answer 1

Toma un triángulo rectángulo y empújalo en el plano xy. Habrá dos patas paralelas a los ejes: una pata horizontal paralela al eje x (A) y una pata vertical paralela al eje y (B). Podemos llamar a nuestra hipotenusa C. Tome el vértice donde A se conecta con C y colóquelo en nuestro origen, y podemos ver que A y el eje x son colineales, mientras que B y el eje y todavía son paralelos. En este caso, tenemos que A va del punto (0,0) a (x, 0) donde x es una distancia arbitraria a lo largo del eje x. B, en este caso, va del punto (x, 0) al punto (x, y). A través de la fórmula de la distancia, podemos decir que:

[matemáticas] A = \ sqrt {(x-0) ^ 2 + (0-0) ^ 2} = \ sqrt {x ^ 2} = x [/ matemáticas]

[matemáticas] B = \ sqrt {(xx) ^ 2 + (y-0) ^ 2} = \ sqrt {y ^ 2} = y [/ matemáticas]

A través del teorema de Pitágoras:

[matemáticas] C ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2
[/ matemáticas] [matemáticas] C = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]

Digamos que el ángulo desde la horizontal a la hipotenusa, en este caso, de A a C en sentido antihorario, es [matemática] \ theta [/ matemática]. Por lo tanto, podemos definir nuestras funciones seno, coseno y tangente:

[matemáticas] \ sin {\ theta} = \ frac {opuesto} {hipotenusa} = \ frac {y} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}
\ cos {\ theta} = \ frac {adyacente} {hipotenusa} = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}}
\ tan {\ theta} = \ frac {opuesto} {adyacente} = \ frac {y} {x} [/ math]

Esta es la premisa del círculo unitario que aprende en trigonometría / precálculo.

El círculo unitario toma un círculo con radio 1, lo coloca en un plano xy y crea triángulos rectángulos en diferentes ángulos con respecto a la horizontal.

Tenga en cuenta que estas funciones trigonométricas no son exclusivamente “seno es y y coseno es x”; normalmente solo los tratamos en el plano xy, por lo que normalmente los asociamos con esos ejes. Dependiendo de los ejes que use, sus funciones cambiarán. En física, ingeniería y matemáticas, hacemos cosas como rotar nuestros ejes, tratar con diferentes planos, etc. Para la geometría analítica básica (que es esencialmente lo que estamos haciendo), nos preocupamos principalmente por el plano xy.

Answer 2

No es necesario que senθ esté en el eje Y y cosθ esté en el eje X. Todo depende de dónde esté midiendo θ, del eje X o del eje Y.

Por ejemplo, considere este triángulo con ángulo θ como se muestra (medido desde el eje X). Según la definición de sinθ, es la relación del lado opuesto del ángulo a la hipotenusa del triángulo.

[matemáticas] sinθ = \ frac {BC} {AB} [/ matemáticas]

[matemáticas] BC = ABsinθ [/ matemáticas]

BC es paralelo al eje Y, por lo que tomamos las longitudes paralelas al eje Y en términos de senθ.

Del mismo modo, la definición de cosθ es la relación del lado adyacente al ángulo y la hipotenusa.

[matemáticas] AC = ABcosθ [/ matemáticas]

Aquí AC es paralelo (o a lo largo) del eje X, por lo que tomamos longitudes paralelas al eje X en términos de cosθ.

Pero si fuera así:

Ahora θ se mide desde el eje Y. Cuando aplica la definición aquí, la longitud paralela al eje X ahora se toma en términos de senθ y no cosθ porque por definición aquí,

[matemáticas] sinθ = \ frac {AC} {AB} [/ matemáticas]

[matemáticas] AC = ABsinθ [/ matemáticas]

Y de manera similar [matemáticas] BC = ABcosθ [/ matemáticas].

La longitud paralela al eje Y aquí se toma en términos de cosθ ahora y no en términos de sinθ porque estamos midiendo θ desde el eje Y.

Por lo tanto, todo depende de dónde esté midiendo el ángulo.

Answer 3

Si miras un triángulo, tienes tres longitudes: a, b y c. Desde el ángulo que forma el triángulo con el eje x positivo, el seno es la longitud opuesta sobre la hipotenusa, y el coseno es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Ambos lados se suman para formar la hipotenusa, o la magnitud de las longitudes del triángulo.

Answer 4

¡No tenemos que hacerlo!

Consideremos el caso de un triángulo rectángulo. Definimos el coseno de cualquier ángulo no opuesto a la hipotenusa como la relación del lado adyacente al ángulo sobre la hipotenusa del triángulo. Del mismo modo, definimos el seno como la relación del lado opuesto a nuestro ángulo elegido sobre la hipotenusa del triángulo.

Más claramente, si tenemos un triángulo rectángulo y queremos el coseno del ángulo cerca de la base, entonces nuestro coseno es la razón de la hipotenusa y la base. Del mismo modo, nuestro seno es la relación de la altura de nuestro triángulo sobre la hipotenusa.

Estas definiciones son fijas. Los definimos para ser de esta manera.

Bien, entonces tenemos nuestros preliminares abajo. Supongamos que colocamos este triángulo en un plano cartesiano para que la base esté a lo largo del eje xy la altura sea paralela al eje y, y nuestro ángulo de elección, [matemática] \ theta [/ matemática], sea el ángulo más cercano a El nuestro origen. La longitud de la base es xy la longitud de la altura es y. Si nuestra hipotenusa tiene una longitud r, entonces nuestras funciones se ven así:

[matemáticas] \ cos {\ theta} = \ frac {x} {r} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin {theta} = \ frac {y} {r} [/ matemáticas]

Entonces vemos que [matemáticas] x = r \ cos (\ theta) [/ matemáticas] y [matemáticas] y = r \ sin (\ theta) [/ matemáticas].

En trigonometría y geometría analítica, definimos un ángulo cuyo vértice es ese origen y cuyo lado inicial está a lo largo del eje x. Podemos tratar esto como una línea que se extiende desde el origen hasta algún punto (x, 0). De manera similar, si tenemos algún punto (x, y) en cualquier parte del plano cartesiano, y dibujamos una línea desde el origen hasta ese punto, tenemos dos líneas y un ángulo entre ellas. Llamamos a este segundo ángulo el lado terminal.

En el caso de nuestro ejemplo anterior, si nos limitamos al primer cuadrante, vemos que nuestro lado inicial corresponde a nuestra base y nuestro lado terminal corresponde a nuestra hiponentusa. Nuestra altura correspondía a la coordenada y de nuestro par ordenado (x, y).

Pero esto no tiene por qué ser así. También podría dibujar mi lado inicial a lo largo del eje y. Entonces mi base correspondería con el lado inicial en (0, y). Pero si mi base tiene unidades y largas y mi altura es unidades x, entonces, usando mi definición de seno y coseno tengo:

[matemáticas] \ cos {\ theta} = \ frac {y} {r} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin {\ theta} = \ frac {x} {r} [/ matemáticas]

Y así [matemáticas] y = r \ cos {\ theta} [/ matemáticas] y [matemáticas] x = r \ sin {\ theta} [/ matemáticas].

Además, si volvemos a nuestro ejemplo de triángulo rectángulo en el plano cartesiano, si elijo el ángulo más alejado del origen (llamémoslo alfa), mis valores de seno y coseno cambiarían. Quisiera:

[math] \ cos (\ alpha) = \ frac {y} {r} [/ math] y [math] \ sin (\ alpha) = {x} {r} [/ math].

Entonces, todo depende de cómo defina su ángulo. Pero más poderosamente: cómo se interpretan el seno y el coseno depende completamente de cómo configure su sistema de coordenadas.

Answer 5

En las primeras clases de trigonometría, aprendemos que [matemáticas] \ sin \ theta = \ frac {\ textrm {lado opuesto}} {\ textrm {hipotenusa}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos \ theta = \ frac {\ textrm {lado adyacente}} {\ textrm {hypotenuse}}. [/ math]

Además, tomamos la medida de un ángulo en el sistema de coordenadas cartesianas desde el eje X positivo en la dirección antihoraria.

En estas circunstancias, el lado opuesto se convierte en la coordenada Y y el lado adyacente se convierte en la coordenada X.

Por lo tanto, [math] \ sin \ theta [/ math] aparece cuando hablamos de la proyección en el eje Y, la componente Y de un vector, etc. y [math] \ cos \ theta [/ math] aparece cuando hablamos de la proyección en el eje X, el componente X de un vector, etc.

Answer 6

Imagine una línea dibujada desde el origen hasta un punto con valores positivos de x e y.

Deje theta ser el ángulo que forma la línea con el eje x positivo.

Imagine un triángulo rectángulo cuya hipotenusa está en esa línea, y la base en el eje x.

El coseno de theta es igual a la razón del lado adyacente (la base del triángulo, que está en el eje x) a la hipotenusa del triángulo.

Si theta fuera definido como el ángulo entre esa línea (la hipotenusa del triángulo) y el eje y, entonces el coseno estaría relacionado con la longitud en el eje y.

Answer 7

Es solo una convención estándar. Fácilmente podría haber sido al revés.