Editar:
Escribí una respuesta muy larga a una pregunta similar que luego se fusionó con esto, así que estoy un poco enojado. Lo copiaré aquí y obtendrá la versión original de TLDR al final.
Nueva respuesta:
Awnon Bhowmik tiene razón sobre la necesidad de consultar la teoría de Galois. Cuando lo encuentre, voy a explicar un poco.
Entonces, nuestra supuesta meta final es un algoritmo que solo necesita suma, multiplicación y radicales.
Por lo general, observamos los campos de la característica 0. Eso significa que no puede sumar las [matemáticas] 1 [/ matemáticas] del campo varias veces para obtener las [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. [math] \ mathbb {Q} [/ math] es un ejemplo de esto y [math] \ mathbb {Z} / 7 \ mathbb {Z} [/ math] es un contraejemplo. De hecho, automáticamente tiene [math] \ mathbb {Z} [/ math] contenido con la característica [math] 0 [/ math] y como campo tiene inversas y sumas también [math] \ mathbb {Q} [/ math] se puede ver como subcampo de cada campo con la característica [matemática] 0 [/ matemática]. No es tan importante para la teoría, pero facilita los cálculos ya que todos saben a qué se refiere [matemáticas] 27 [/ matemáticas] cuando aparece.
Una extensión de campo [matemática] L / K [/ matemática] es un campo “más grande” [matemática] L [/ matemática] que contiene el campo [matemática] K [/ matemática]. Se dice que es algebraico sobre [matemática] K [/ matemática] si cada [matemática] l \ en L [/ matemática] es la solución de una ecuación polinómica sobre [matemática] K [/ matemática].
O de otra manera declarado como
[matemáticas] \ phi_l: K [x] \ a K [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n} {a_ix ^ i} \ mapsto \ sum_ {i = 0} ^ {n} {a_il ^ i} [/ matemáticas]
Entonces [matemática] L / K [/ matemática] es algebraica cuando [matemática] kern (\ phi_l) \ neq 0 [/ matemática] para todos [matemática] l \ en L [/ matemática]
Como L es un espacio vectorial sobre K, obtenemos un argumento de dimensión (n + 1, muchos vectores dependen linealmente) de que todas las extensiones con grado finito [matemático] dim_K (L) = n [/ matemático] son algebraicas. También denotado con [math] deg (L / K) = n. [/ Math]
Incluso obtienes que [matemática] L / K [/ matemática] finita y algebraica [matemática] \ Leftrightarrow L / K [/ matemática] es generada por muchos elementos algebraicos finitos.
Generado significa en el sentido habitual una intersección sobre todos los campos que contienen [matemática] K [/ matemática] y elementos (algebraicos) de [matemática] L \ setminus K [/ matemática]
Como esto se está alargando, voy a atajar un poco.
Una extensión de campo normal y algebraica (no tenemos que preocuparnos mucho por lo normal porque miramos [math] char (K) = 0 [/ math]) se llama extensión de Galois.
Con eso ahora definimos el grupo de Galois de [matemáticas] L / K [/ matemáticas]
[matemáticas] Gal (L / K): = \ {\ phi \ en Aut (L): \ phi_ {| K} = Id_K \} [/ math] o formulación alternativa [matemáticas] \ phi (k) = k [ / matemáticas] [matemáticas] \ forall k \ en K [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] Gal (L / K)
Puede entender que el Grupo Galois permuta algunos elementos generadores característicos en [math] L \ setminus K [/ math] que luego definen completamente el campo.
También podemos definir para [matemáticas] H
[matemáticas] L ^ H: = \ {x \ en L: \ psi (x) = x, \ forall \ psi \ en H \} [/ matemáticas]
y ahora [math] K \ subset L ^ H \ subset L [/ math] y [math] L ^ H [/ math] es un campo.
Así que sorprendentemente tenemos un isomorfismo:
[math] \ Psi: \ {H
con [matemáticas] \ Psi (H) = L ^ H [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Psi ^ {- 1} (E) = Gal (L / E) [/ matemáticas]
Entonces [matemáticas] Gal (L / L ^ H) = H [/ matemáticas] y [matemáticas] L ^ {Gal (L / E)} = E [/ matemáticas]
Entonces cada subgrupo corresponde a un campo. Para demostrar que esto siempre existe, necesitas un poco más de teoría.
Para una familia de polinomios [matemática] p_1, … p_m K [x] [/ matemática] puede obtener un campo [matemática] L [/ matemática]. Al observar cuál es el campo más pequeño donde [math] p_i = (x-a_1) … (x-a_n) [/ math] para [math] deg (p_i) = n [/ math] para todos [math] p_i [ /matemáticas]
Entonces, en particular, esto se puede definir para un solo polinomio [matemático] p \ en K [x] [/ matemático]. Por lo tanto, podemos volver a mirar [matemática] L / K [/ matemática] para este polinomio y asignarle [matemática] Gal (L / K). [/ Matemática]
Ahora los “elementos característicos” de los que hablé para el grupo Galois responden a [matemática] ceros [/ matemática] de [matemática] p [/ matemática].
Volviendo a nuestro objetivo del algoritmo que necesita radicales. Por lo tanto, todos nuestros ceros deben ser combinaciones lineales de raíces de orden [matemáticas] m [/ matemáticas] dependientes de los coeficientes del polinomio.
Podemos relacionar la “solvencia por radicales” con el campo que asignamos [math] p [/ math]. Para eso necesitamos las llamadas raíces primitivas que generan elementos del grupo que contiene raíces de unidad de orden [matemáticas] n [/ matemáticas].
Pero es difícil determinar si el campo tiene solución o no. Pero podemos demostrar que es exactamente cuando el grupo de Galois tiene solución.
Esto se debe a que puede alcanzar [matemática] L [/ matemática] desde [matemática] K [/ matemática] uniendo sucintamente los radicales que nos darán campos entre [matemática] K [/ matemática] y [matemática] L [/ matemática ] Y sabemos que corresponden a subgrupos [matemática] H [/ matemática] de [matemática] Gal (L / K) [/ matemática].
Entonces tenemos una serie
[matemáticas] E_0 \ subconjunto E_1 \ subconjunto … \ subconjunto E_n [/ matemática]
con [matemáticas] E_0 = K [/ matemáticas] y [matemáticas] E_n = L [/ matemáticas]
y [math] E_ {i + 1} / E_i [/ math] debe ser una extensión cíclica. Por la solvencia de los radicales al trabajo.
Como [matemáticas] \ Psi (\ {Id \}) = L [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Psi (Gal (L / K)) = K [/ matemáticas]
Obtenemos la formulación equivalente que existe.
[matemáticas] H_0
con [matemáticas] H_0 = \ {Id \}, H_n = Gal (L / K) [/ matemáticas]
y [matemática] H_i [/ matemática] es normal en [matemática] H_ {i + 1} [/ matemática]
y [matemáticas] H_ {i + 1} / H_i [/ matemáticas] es abeliano. O “Los factores conmutan”.
Esto se llama solvencia de un grupo o un grupo soluble si existe.
Ahora finalmente, en general, obtenemos eso para [math] deg (p) = n [/ math] y el campo asignado [math] L [/ math] para [math] p \ in K [x] [/ math]
que [matemáticas] Gal (L / K) \ cong S_n [/ matemáticas]
[math] S_n [/ math] es solulable para [math] n \ leq 4 [/ math]
[math] S_n [/ math] es insoluble para [math] n \ geq 5 [/ math]
Así que finalmente llegamos al objetivo de que no existe un algoritmo analítico general para determinar las raíces de polinomios con un grado de al menos [math] 5 [/ math].
Espero que te hagas una idea general.
TLDR:
No existe una fórmula analítica general. Esto solo puede usar la suma de multiplicación y los radicales. Otros definitivamente pueden existir.
Para ver por qué no existe una fórmula analítica general, necesita la teoría de Galois. Las raíces de un polinomio son exactamente entonces expresables como radicales si el grupo de Galois del polinomio es solucionable.
Entonces obtienes una declaración general para las extensiones de Galois que se dan cuando son algebraicas y separables. Como los campos que usamos generalmente tienen la característica 0, lo que implica separabilidad, no tenemos que preocuparnos por eso.
Entonces, en general (no siempre) el grupo de Galois de un polinomio de grado [matemático] n [/ matemático] es isomorfo al [matemático] S_n. [/ Matemático]
Esto no se puede resolver para [math] n \ geq 5 [/ math] ya que [math] A_n [/ math] tampoco se puede resolver.
Como no puede expresar las raíces como radicales, entonces no puede existir una fórmula analítica.