¿Existe la fórmula general para la ecuación polinómica quintica?

Hola

Primero, cuando solicitó la solución de un polinomio quíntico, en la teoría de las funciones, le gustaría buscar el N # de veces que la función intersecta el eje x

Poly [matemática] P (x) _5 [/ matemática] = 0, este es el espacio euclidiano donde x no cambia con el tiempo, ¿qué pasa si piensas que el eje x cambia uniformemente con el tiempo? Tenemos que defender ese campo F.

Todos habían respondido a su pregunta, pero si también está familiarizado con Cálculo, comparto con usted un caso especial de Polinomio de 6to [matemático] P (x) _6 [/ matemático] que tenía algunas soluciones.

Siga en la página [1], [2], y [3] ( Respuesta – en [4] ; arrojará una luz sobre cómo ve en un Campo de restricción de Cauchy-Riemann que haga algunos casos especiales para resolver algunos polinomios que tienen aplicación en Matemáticas aplicadas a la vida.

[1], [2] y [3]. con respuesta integral en [4]

Espero que disfruten el caso especial de este polinomio de sexto orden utilizado en cálculo integral . Si puede tomar la integral, hay 3 partes donde 1 es un Inverse tan [tan] -1

Y feliz Navidad para ti y tu familia

Jung

Ps: La próxima vez resolveré el Integrando = ∫√ (x² ± a²)

de los cuales ∫ 1⁄ √ ( x² ± a²) es una integral familiar ∫

Notas al pie

[1] P1000191.JPG

[2] P1000192.jpg

[3] P1000193.JPG

[4] P1000194.JPG

* A2A

El teorema de la imposibilidad de Abel establece que los polinomios de orden superior a [matemática] 4 [/ matemática] no pueden resolverse algebraicamente utilizando un número finito de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces. Algunos casos del polinomio quintico pueden resolverse, pero no todos en general.

No podemos resolver el polinomio quíntico, pero deberá consultar la teoría de Galois por el motivo.

Además, le preguntaste al tipo equivocado, todavía no he encontrado la teoría de Galois 🙂

Esta es una pregunta que mucha gente se equivoca. No, no existe una fórmula que solo implique sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas. Ese es un resultado estándar en la teoría de Galois.

Pero esas no son las únicas operaciones que conocemos. Si expande su biblioteca de técnicas permitidas solo un poco y se permite el radical Traer, puede escribir una solución para cualquier ecuación de la forma [matemáticas] x ^ 5 + px + q = 0 [/ matemáticas]. Es posible reducir una quintic arbitraria a esta forma, por lo que existe un procedimiento para escribir las soluciones de la quintic general. En cuanto a por qué generalmente no mostramos esa fórmula, cito de Wikipedia:

Como podría esperarse de la complejidad de estas transformaciones, las expresiones resultantes pueden ser enormes, particularmente cuando se comparan con las soluciones en radicales para ecuaciones de menor grado, tomando muchos megabytes de almacenamiento para una quintic general con coeficientes simbólicos.

No. Este es uno de los resultados más famosos de la teoría de Galois (quizás el tema más bello del álgebra moderna), y uno que se extiende a los polinomios con mayor grado.

Nota: existe una clasificación (algo débil) para las quínticas solucionables. Pero, de nuevo, no hay una fórmula general, al menos sobre los campos de la característica cero (que generalmente parecen subcampos de [math] \ mathbb {C} [/ math], como [math] \ mathbb {C}, \ mathbb {R } [/ math] y [math] \ mathbb {Q}) [/ math].

Segunda nota: Esto probablemente no esté más allá de su alcance para probar. Elija un libro sobre la teoría de Galois (Stewart es una introducción muy suave) y, si le gusta, ¡siga leyendo!

Por supuesto que lo hay. De hecho, las soluciones se pueden escribir en términos de funciones hipergeométricas . Uno se puede encontrar en este documento: https://arxiv.org/pdf/math/00050

Tenga en cuenta que el teorema de Abel-Ruffini solo expresa la imposibilidad de encontrar una solución cerrada de la quintica usando radicales como [math] \ sqrt [n] {} [/ math] y operaciones aritméticas, como [math] +, -, \ veces, \ div [/ math] (¿alguien usa ese signo?)

No, no existe una fórmula para encontrar las raíces de un polinomio general de 5º grado. Se pueden resolver algunos casos especiales de polinomios de 5º grado, pero se ha demostrado que una solución general es imposible.

La mayoría de las personas están familiarizadas con la fórmula cuadrática que resuelve polinomios de segundo grado. Y hay fórmulas complicadas para polinomios cúbicos y cuárticos. Pero ninguno para quinto grado o superior.

Esto es de interés para los matemáticos, pero en la práctica, existen técnicas rápidas que pueden encontrar las raíces de polinomios de cualquier grado razonable.

Ecuación Quintica . A diferencia de los polinomios cuadráticos, cúbicos y cuárticos, el quintic general no puede resolverse algebraicamente en términos de un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces, como lo demuestran rigurosamente Abel (teorema de imposibilidad de Abel) y Galois.

No hay uno Por alguna complicada razón que involucra argumentos de simetría, no es posible hacer una fórmula usando +, -, *, /, potencias y raíces para dar todas las respuestas a * cada * ecuación polinómica de grado 5 o superior, como la fórmula cuadrática resuelve ecuaciones cuadráticas. Existen soluciones para 3º y 4º grado, pero se ha demostrado que es imposible para niveles superiores.

Editar:

Escribí una respuesta muy larga a una pregunta similar que luego se fusionó con esto, así que estoy un poco enojado. Lo copiaré aquí y obtendrá la versión original de TLDR al final.

Nueva respuesta:

Awnon Bhowmik tiene razón sobre la necesidad de consultar la teoría de Galois. Cuando lo encuentre, voy a explicar un poco.

Entonces, nuestra supuesta meta final es un algoritmo que solo necesita suma, multiplicación y radicales.

Por lo general, observamos los campos de la característica 0. Eso significa que no puede sumar las [matemáticas] 1 [/ matemáticas] del campo varias veces para obtener las [matemáticas] 0 [/ matemáticas]. [math] \ mathbb {Q} [/ math] es un ejemplo de esto y [math] \ mathbb {Z} / 7 \ mathbb {Z} [/ math] es un contraejemplo. De hecho, automáticamente tiene [math] \ mathbb {Z} [/ math] contenido con la característica [math] 0 [/ math] y como campo tiene inversas y sumas también [math] \ mathbb {Q} [/ math] se puede ver como subcampo de cada campo con la característica [matemática] 0 [/ matemática]. No es tan importante para la teoría, pero facilita los cálculos ya que todos saben a qué se refiere [matemáticas] 27 [/ matemáticas] cuando aparece.

Una extensión de campo [matemática] L / K [/ matemática] es un campo “más grande” [matemática] L [/ matemática] que contiene el campo [matemática] K [/ matemática]. Se dice que es algebraico sobre [matemática] K [/ matemática] si cada [matemática] l \ en L [/ matemática] es la solución de una ecuación polinómica sobre [matemática] K [/ matemática].

O de otra manera declarado como

[matemáticas] \ phi_l: K [x] \ a K [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n} {a_ix ^ i} \ mapsto \ sum_ {i = 0} ^ {n} {a_il ^ i} [/ matemáticas]

Entonces [matemática] L / K [/ matemática] es algebraica cuando [matemática] kern (\ phi_l) \ neq 0 [/ matemática] para todos [matemática] l \ en L [/ matemática]

Como L es un espacio vectorial sobre K, obtenemos un argumento de dimensión (n + 1, muchos vectores dependen linealmente) de que todas las extensiones con grado finito [matemático] dim_K (L) = n [/ matemático] son ​​algebraicas. También denotado con [math] deg (L / K) = n. [/ Math]

Incluso obtienes que [matemática] L / K [/ matemática] finita y algebraica [matemática] \ Leftrightarrow L / K [/ matemática] es generada por muchos elementos algebraicos finitos.

Generado significa en el sentido habitual una intersección sobre todos los campos que contienen [matemática] K [/ matemática] y elementos (algebraicos) de [matemática] L \ setminus K [/ matemática]

Como esto se está alargando, voy a atajar un poco.

Una extensión de campo normal y algebraica (no tenemos que preocuparnos mucho por lo normal porque miramos [math] char (K) = 0 [/ math]) se llama extensión de Galois.

Con eso ahora definimos el grupo de Galois de [matemáticas] L / K [/ matemáticas]

[matemáticas] Gal (L / K): = \ {\ phi \ en Aut (L): \ phi_ {| K} = Id_K \} [/ math] o formulación alternativa [matemáticas] \ phi (k) = k [ / matemáticas] [matemáticas] \ forall k \ en K [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] Gal (L / K)

Puede entender que el Grupo Galois permuta algunos elementos generadores característicos en [math] L \ setminus K [/ math] que luego definen completamente el campo.

También podemos definir para [matemáticas] H

[matemáticas] L ^ H: = \ {x \ en L: \ psi (x) = x, \ forall \ psi \ en H \} [/ matemáticas]

y ahora [math] K \ subset L ^ H \ subset L [/ math] y [math] L ^ H [/ math] es un campo.

Así que sorprendentemente tenemos un isomorfismo:

[math] \ Psi: \ {H

con [matemáticas] \ Psi (H) = L ^ H [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Psi ^ {- 1} (E) = Gal (L / E) [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] Gal (L / L ^ H) = H [/ matemáticas] y [matemáticas] L ^ {Gal (L / E)} = E [/ matemáticas]

Entonces cada subgrupo corresponde a un campo. Para demostrar que esto siempre existe, necesitas un poco más de teoría.

Para una familia de polinomios [matemática] p_1, … p_m K [x] [/ matemática] puede obtener un campo [matemática] L [/ matemática]. Al observar cuál es el campo más pequeño donde [math] p_i = (x-a_1) … (x-a_n) [/ math] para [math] deg (p_i) = n [/ math] para todos [math] p_i [ /matemáticas]

Entonces, en particular, esto se puede definir para un solo polinomio [matemático] p \ en K [x] [/ matemático]. Por lo tanto, podemos volver a mirar [matemática] L / K [/ matemática] para este polinomio y asignarle [matemática] Gal (L / K). [/ Matemática]

Ahora los “elementos característicos” de los que hablé para el grupo Galois responden a [matemática] ceros [/ matemática] de [matemática] p [/ matemática].

Volviendo a nuestro objetivo del algoritmo que necesita radicales. Por lo tanto, todos nuestros ceros deben ser combinaciones lineales de raíces de orden [matemáticas] m [/ matemáticas] dependientes de los coeficientes del polinomio.

Podemos relacionar la “solvencia por radicales” con el campo que asignamos [math] p [/ math]. Para eso necesitamos las llamadas raíces primitivas que generan elementos del grupo que contiene raíces de unidad de orden [matemáticas] n [/ matemáticas].

Pero es difícil determinar si el campo tiene solución o no. Pero podemos demostrar que es exactamente cuando el grupo de Galois tiene solución.

Esto se debe a que puede alcanzar [matemática] L [/ matemática] desde [matemática] K [/ matemática] uniendo sucintamente los radicales que nos darán campos entre [matemática] K [/ matemática] y [matemática] L [/ matemática ] Y sabemos que corresponden a subgrupos [matemática] H [/ matemática] de [matemática] Gal (L / K) [/ matemática].

Entonces tenemos una serie

[matemáticas] E_0 \ subconjunto E_1 \ subconjunto … \ subconjunto E_n [/ matemática]

con [matemáticas] E_0 = K [/ matemáticas] y [matemáticas] E_n = L [/ matemáticas]

y [math] E_ {i + 1} / E_i [/ ​​math] debe ser una extensión cíclica. Por la solvencia de los radicales al trabajo.

Como [matemáticas] \ Psi (\ {Id \}) = L [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Psi (Gal (L / K)) = K [/ matemáticas]

Obtenemos la formulación equivalente que existe.

[matemáticas] H_0

con [matemáticas] H_0 = \ {Id \}, H_n = Gal (L / K) [/ matemáticas]

y [matemática] H_i [/ ​​matemática] es normal en [matemática] H_ {i + 1} [/ matemática]

y [matemáticas] H_ {i + 1} / H_i [/ ​​matemáticas] es abeliano. O “Los factores conmutan”.

Esto se llama solvencia de un grupo o un grupo soluble si existe.

Ahora finalmente, en general, obtenemos eso para [math] deg (p) = n [/ math] y el campo asignado [math] L [/ math] para [math] p \ in K [x] [/ math]

que [matemáticas] Gal (L / K) \ cong S_n [/ matemáticas]

[math] S_n [/ math] es solulable para [math] n \ leq 4 [/ math]

[math] S_n [/ math] es insoluble para [math] n \ geq 5 [/ math]

Así que finalmente llegamos al objetivo de que no existe un algoritmo analítico general para determinar las raíces de polinomios con un grado de al menos [math] 5 [/ math].

Espero que te hagas una idea general.

TLDR:

No existe una fórmula analítica general. Esto solo puede usar la suma de multiplicación y los radicales. Otros definitivamente pueden existir.

Para ver por qué no existe una fórmula analítica general, necesita la teoría de Galois. Las raíces de un polinomio son exactamente entonces expresables como radicales si el grupo de Galois del polinomio es solucionable.

Entonces obtienes una declaración general para las extensiones de Galois que se dan cuando son algebraicas y separables. Como los campos que usamos generalmente tienen la característica 0, lo que implica separabilidad, no tenemos que preocuparnos por eso.

Entonces, en general (no siempre) el grupo de Galois de un polinomio de grado [matemático] n [/ matemático] es isomorfo al [matemático] S_n. [/ Matemático]

Esto no se puede resolver para [math] n \ geq 5 [/ math] ya que [math] A_n [/ math] tampoco se puede resolver.

Como no puede expresar las raíces como radicales, entonces no puede existir una fórmula analítica.

En este enlace a continuación, se analiza un posible método para obtener una solución radical de la ecuación quíntica general. [1]

Notas al pie

[1] Método de solución BuyaEng-1 (1) de la ecuación quíntica.docx

dado que es una ecuación de quinto grado, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que esta ecuación es: [matemáticas] f (x) = x ^ 5 + ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 [ /matemáticas]

tenga en cuenta que cuando x es lo suficientemente grande, [math] f (x_1)> 0 [/ math] es positivo; cuando x es lo suficientemente pequeño, [math] f (x_2) <0 [/ math] es negativo.

a continuación, podemos usar la búsqueda binaria en la computadora para encontrar un número real [matemática] x \ in (x_2, x_1), st | f (x) | <\ epsilon [/ math]

Algoritmo de búsqueda binaria – Wikipedia

después de eso, obtendremos una ecuación de 4 grados.