Deje [math] x + \ sqrt 3 = a ^ 2 [/ math]; [matemáticas] x- \ sqrt 3 = b ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = 2x = c ^ 2 [/ matemáticas]; [matemáticas] x = \ dfrac {c ^ 2} 2 [/ matemáticas]
Sigue [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática] y [matemática] a, b, c [/ matemática] forman un triángulo rectángulo.
La relación dada se puede ajustar como
[matemáticas] \ dfrac {2 (x + \ sqrt 3)} {\ sqrt {2x} + \ sqrt 2 \ sqrt {x + \ sqrt 3}} + \ dfrac {2 (x- \ sqrt 3)} {\ sqrt { 2x} – \ sqrt 2 \ sqrt {x- \ sqrt 3}} = \ sqrt {2x} [/ math]
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- ¿Aprender álgebra abstracta me hará mejor en álgebra elemental o los 2 no están relacionados?
Escribir en términos de [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {2 a ^ 2} {c + \ sqrt 2 a} + \ dfrac {2 b ^ 2} {c- \ sqrt 2 b} = c [/ matemáticas]
Deje que [math] \ theta [/ math] sea el ángulo entre los lados byc, entonces
- [matemáticas] \ sin \ theta = \ dfrac ac [/ matemáticas] y [matemáticas] \ cos \ theta = \ dfrac bc [/ matemáticas]
La relación se vuelve
[matemáticas] \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ theta} {1+ \ sqrt 2 \ sin \ theta} + \ dfrac {2 \ cos ^ 2 \ theta} {1- \ sqrt 2 \ cos \ theta} = 1 [/matemáticas]
Multiplicar por el producto de denominadores
[matemáticas] 2 \ left \ {\ sin ^ 2 \ theta (1- \ sqrt 2 \ cos \ theta) + \ cos ^ 2 \ theta (1+ \ sqrt 2 \ sin \ theta) \ right \} = (1 + \ sqrt 2 \ sin \ theta) (1- \ sqrt 2 \ cos \ theta) [/ math]
Simplificando después de reconocer [math] \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 [/ math]
[matemáticas] \ {1- \ sqrt 2 (\ sin \ theta – \ cos \ theta) \} \ {1 + 2 \ sin \ theta + \ cos \ theta \} = 0 [/ matemáticas]
La única posibilidad es [matemática] \ {1- \ sqrt 2 (\ sin \ theta – \ cos \ theta) \} = 0 [/ matemática] ya que el segundo factor siempre es positivo para [matemática] 0 <\ theta <\ dfrac {\ pi} 2 [/ math]
es decir, [matemática] \ sin \ theta – \ cos \ theta = \ dfrac 1 {\ sqrt 2} [/ matemática]
multiplicando por [matemáticas] \ dfrac 1 {\ sqrt 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin \ theta \ cos \ dfrac {\ pi} 4 – \ cos \ theta \ sin \ dfrac {\ pi} 4 = \ dfrac 1 {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (\ theta – \ dfrac {\ pi} 4) = \ dfrac 1 {2} = \ sin \ dfrac {\ pi} 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ theta = \ dfrac {\ pi} 4+ \ dfrac {\ pi} 6 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tan \ theta = \ dfrac {1+ \ frac 1 {\ sqrt 3}} {1- \ frac 1 {\ sqrt 3}} = \ dfrac {\ sqrt 3 + 1} {\ sqrt 3-1 }[/matemáticas]
Cuadratura
[matemáticas] \ tan ^ 2 \ theta = \ dfrac {2+ \ sqrt 3} {2- \ sqrt 3} [/ matemáticas]
Pero [matemáticas] \ tan ^ 2 \ theta = \ dfrac {a ^ 2} {b ^ 2} = \ dfrac {x + \ sqrt 3} {x- \ sqrt 3} [/ matemáticas]
Por inspección [math] \ boxed {x = 2} [/ math]
