¿Cuántos divisores naturales tiene 9? Algunas personas piensan que 9 tiene 4 divisores naturales: 1, 3, 3, 9.

Answer 1

Nueve tiene tres divisores, uno, tres y nueve.

Según el llamado Teorema fundamental de la aritmética, cualquier número natural, [math] n [/ math], tiene una factorización prima única:

[matemáticas] \ quad \ displaystyle n = \ prod_ip_i ^ {q_i} [/ matemáticas]

donde el [math] (p_i) [/ math] se extiende sobre el conjunto de números primos [math] \ {2,3,5,7,11, \ dotsc \} [/ math] y el [math] (q_i) [/ math] son ​​números naturales (la mayoría de los cuales son cero, lo que indica que el primo no es un divisor).

El número de divisores, [matemática] d (n) [/ matemática], viene dado por:

[matemáticas] \ quad \ displaystyle d (n) = \ prod_i (q_i + 1) [/ matemáticas]

Esto se debe a que cada primo, [matemática] p_i [/ ​​matemática], puede incluirse desde cero hasta [matemática] q_i [/ ​​matemática] veces, un total de [matemática] q_i + 1 [/ matemática] veces.

En el caso de [matemáticas] 9 = 2 ^ 0 \ cdot3 ^ 2 \ cdot5 ^ 0 [/ matemáticas] tenemos:

[matemáticas] \ quad d (9) = (0 + 1) \ cdot (2 + 1) \ cdot (0 + 1) = 3 [/ matemáticas] divisores.

En el caso de [math] 504 = 2 ^ 3 \ cdot3 ^ 2 \ cdot5 ^ 0 \ cdot7 ^ 1 [/ math] tenemos:

[matemática] \ quad d (504) = (3 + 1) (2 + 1) (0 + 1) (1 + 1) = 24 [/ matemática] divisores.

No tiene mucho sentido contar los factores primos con multiplicidad ya que los divisores con múltiples factores primos también necesitarían algún tipo de multiplicidad. Esto es distinto de contar las raíces de ecuaciones polinómicas como [matemática] x ^ 2-6x + 9 = 0 [/ matemática] donde tiene sentido decir que la ecuación tiene dos raíces, las cuales son [matemática] 3 [ /matemáticas].

Answer 2

Un número natural a es un divisor de un número natural b si hay un número natural k tal que ak = b .

Los divisores de números naturales de 9 son 1, 3 y 9.

Por lo tanto, hay tres de estos divisores.

Tendría poco sentido contar el número 3 más de una vez. La razón detrás de esto parece ser que 3 * 3 = 9, por lo que 3 aparece aquí dos veces. Pero técnicamente, en la definición anterior, 3 es a y los otros 3 son solo la k con la que 3 * k = 9.

Tenga en cuenta que si 3 se contaran aquí dos veces, todos los números naturales tendrían una cantidad infinita de divisores, porque 1 podría contarse infinitamente muchas veces (1 * a = a, 1 * 1 * a = a, 1 * 1 * 1 * a = a, y así sucesivamente para cualquier número natural a ).

Answer 3

Parece que esto ya ha sido respondido, pero en pocas palabras, para obtener el número de factores de un número:

1. Reduzca el número a su factorización prima.
2. Incrementa el poder de cada factor primo en 1.
3. Multiplique todos estos valores para obtener el número total de factores.

[matemáticas] 9 = 3 * 3 = 3 ^ 2 [/ matemáticas]

Aumente el poder de los tres por 1: 2 + 1 = 3

No hay otros números primos involucrados, por lo que no hay otros valores que se multipliquen juntos, por lo que la respuesta final es que 9 tiene 3 factores.

Las matemáticas han demostrado que el 3 solo se cuenta una vez, no dos.

Answer 4

¿Por qué contar [matemáticas] 3 [/ matemáticas] dos veces?

[matemática] 9 [/ matemática] tiene [matemática] 3 [/ matemática] divisores naturales: [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] 3 [/ matemática] y [matemática] 9 [/ matemática] ([matemática] 1 [/ math] y [math] n [/ math] son ​​factores triviales de cada número natural [math] n [/ math] y aquí [math] 3 [/ math] es el único factor primo).

Quizás algunas personas están confundidas por el hecho de que la factorización prima de [matemáticas] 9 [/ matemáticas] puede escribirse así [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 = 3 \ veces 3 [/ matemáticas], pero no hay razón para hacerlo cuente las [matemáticas] 3 [/ matemáticas] dos veces. Pero tal vez estoy confundiendo factor y divisor.

Answer 5

Gracias por el A2A!

[matemáticas] 9 [/ matemáticas] tiene [matemáticas] 3 [/ matemáticas]: [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] 9 [/ matemáticas].