¿Qué es [math] \ int_ {0} ^ {1} \ frac {log (1-x)} {x} dx [/ math] [math] [/ math]?

Answer 1

Deje [math] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ ln (1 – x)} {x} \, dx [/ math]

Como [matemáticas] | x | \ leq 1 [/ math], entonces, busquemos la expansión de la serie Taylor de [math] f (x) = \ ln (1 – x) [/ math] cerca [math] x_0 = 0 [/ math].

Como la expansión de la serie Taylor de cualquier función viene dada por

[matemáticas] f (x) = f (x_0) + f ‘(x_0) (x – x_0) + f’ ‘(x_0) \ dfrac {(x – x_0) ^ 2} {2!} + f’ ” (x_0) \ dfrac {(x – x_0) ^ 3} {3!} +… [/ math]

Aquí [matemáticas] x_0 = 0 [/ matemáticas], entonces,

[matemáticas] f (x) = f (0) + f ‘(0) x + f’ ‘(0) \ dfrac {x ^ 2} {2!} + f’ ” (0) \ dfrac {x ^ 3} {3!} +… [/ Matemáticas]

Ahora, [matemáticas] f (0) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = \ dfrac {-1} {(1 – x)} \ implica f’ (0) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas], f ” (x) = \ dfrac {-1} {(1 – x) ^ 2} \ implica f ” (0) = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas], f ” ‘(x) = \ dfrac {-2} {(1 – x) ^ 3} \ implica f’ ” (0) = -2 [/ matemáticas]

[matemáticas], f ” ” (x) = \ dfrac {-2 \ veces 3} {(1 – x) ^ 4} \ implica f ” ” (0) = -2 \ veces 3 [/ matemáticas ]

[matemáticas] … [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] f (x) = -x – \ dfrac {x ^ 2} {2} – \ dfrac {x ^ 3} {3} – \ dfrac {x ^ 4} {4} -… [/ matemáticas ]

Entonces, [math] \ displaystyle I = \ int_0 ^ 1 \ dfrac {\ ln (1 – x)} {x} \, dx [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int_0 ^ 1 – (1 + \ dfrac {x} {2} + \ dfrac {x ^ 2} {3} – \ dfrac {x ^ 3} {4} + …) \, dx [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = – (x + \ dfrac {x ^ 2} {2 ^ 2} + \ dfrac {x ^ 3} {3 ^ 2} – \ dfrac {x ^ 4} {4 ^ 2} +… ) \ bigg | _0 ^ 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica I = – (1 + \ dfrac {1} {2 ^ 2} + \ dfrac {1} {3 ^ 2} – \ dfrac {1} {4 ^ 2} + …) [/ matemáticas]

Como, Reimann zeta función definida por

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {n ^ s} [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ displaystyle \ implica I = – \ zeta (2) = \ dfrac {\ pi ^ 2} {6} [/ matemáticas]

Consulte el enlace de wikipedia para obtener información sobre la función zeta de Reimann

Answer 2

¿Qué grado de educación persigue? ¿de dónde sacaste esta integral?

Es una integral especial llamada función dilogaritmo. La integración de la función dilogarithm sobre 0 a 1 le da [math] (pi) ^ 2/6. [/ Math]

Estoy muy interesado en saber cómo se encontró con esta suma, porque esta es una integral muy particular que no se puede resolver con fórmulas normales. Necesita una expansión de la serie de potencia que sea convergente para evaluar esto realmente.

Answer 3

Utilizando por método de partes,

[matemáticas] [ln (x) ln (x-1)] _ 0 ^ 1 – \ int_ {0} ^ {1} \ frac {-ln (x)} {1-x} dx [/ matemáticas]

La primera es la función poligráfica de orden 2.