¿Con qué convergen [matemáticas] \ suma \ límites_ {x = 1} ^ n \ frac {1} {\ pi ^ n} [/ matemáticas]?

El summand [math] \ dfrac {1} {\ pi ^ n} [/ math] no depende de la variable de suma [math] x [/ math].

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ sum_ {x = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ n} = \ underbrace {\ frac {1} {\ pi ^ n} + \ frac {1} {\ pi ^ n} + \ cdots + \ frac {1} {\ pi ^ n}} _ {n \ text {times}} = \ frac {n} {\ pi ^ n} \ a 0 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]


Sin embargo, es posible que lo que se quería decir fuera [matemática] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} [/ matemática].

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} = \ frac {1} {\ pi} + \ frac {1} {\ pi ^ 2} + \ cdots + \ frac {1} {\ pi ^ n} [/ math]

Podemos resolver esto usando un resultado estándar para series geométricas:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} ar ^ k = \ dfrac {a \ left (1 – r ^ {n} \ right)} {1 – r} \ to \ dfrac { a} {1-r} [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math] if [math] \ left \ lvert r \ right \ rvert <1 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} ar ^ k \ to \ dfrac {a} {1-r} – a = \ dfrac {ar} {1-r} [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]

Configurando [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] r = \ dfrac {1} {\ pi} [/ matemática], y observando que [matemática] \ left \ lvert r \ right \ rvert \ aprox 0.3183 < 1 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} \ to \ dfrac {\ frac {1} {\ pi}} {1 – \ frac {1} {\ pi}} = \ dfrac {1} {\ pi – 1} \ aprox 0.4669 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]

* A2A

  • Puedo ver que quieres que resuma [matemáticas] \ dfrac 1 {\ pi ^ n} [/ matemáticas]. Ehhhhhh … (pausa larga), ¿cómo exactamente haría eso? Veo [math] x [/ math], la variable del contador, va de [math] 1 [/ math] a [math] n [/ math]. Esto significa que simplemente puedo escribir que la suma sería [matemática] n [/ matemática] multiplicada por el original, o [matemática] \ dfrac n {\ pi ^ n} [/ matemática]
  • Si te refieres a [matemáticas] \ sum_ \ limits {x = 1} ^ n \ dfrac1 {\ pi ^ x} [/ matemáticas], entonces es simplemente una serie geométrica, y la suma es [matemáticas] \ begin {align} S & = \ dfrac {a (1-r ^ n)} {1-r}, | r | <1 \\ & = \ dfrac {\ dfrac1 \ pi \ cdot \ left (1- \ dfrac1 {\ pi ^ n } \ right)} {1- \ dfrac1 \ pi} \ cdot \ dfrac {\ pi ^ {n + 1}} {\ pi ^ {n + 1}} \\ & = \ dfrac {\ pi ^ n-1 } {\ pi ^ n (\ pi-1)} \ end {align} \ tag * {} [/ math], todavía no es tan interesante.
  • Para series geométricas infinitas, tenemos [matemáticas] \ begin {align} S & = \ dfrac {\ dfrac1 \ pi} {1- \ dfrac1 \ pi} \\ & = \ dfrac {1} {\ pi-1} \ end {align} \ tag * {} [/ math], ahora eso es algo interesante.

La cantidad que se suma no depende de [math] x [/ math], por lo que solo está agregando lo mismo [math] n [/ math] veces.

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {x = 1} ^ n \ frac {1} {\ pi ^ n} = \ frac {n} {\ pi ^ n} [/ matemáticas]


EDITAR: Ahora la pregunta se ha modificado de manera bastante sustancial. La suma de las series geométricas es

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {x = 1} ^ \ infty r ^ x = \ frac {r} {1-r} [/ matemáticas]

siempre y cuando [math] | r | <1 [/ math]. Enchufar [math] r = \ frac {1} {\ pi} [/ math] (que de hecho es menor que 1 en valor absoluto). te dará la respuesta que estás buscando.