El summand [math] \ dfrac {1} {\ pi ^ n} [/ math] no depende de la variable de suma [math] x [/ math].
[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ sum_ {x = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ n} = \ underbrace {\ frac {1} {\ pi ^ n} + \ frac {1} {\ pi ^ n} + \ cdots + \ frac {1} {\ pi ^ n}} _ {n \ text {times}} = \ frac {n} {\ pi ^ n} \ a 0 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]
Sin embargo, es posible que lo que se quería decir fuera [matemática] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} [/ matemática].
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} = \ frac {1} {\ pi} + \ frac {1} {\ pi ^ 2} + \ cdots + \ frac {1} {\ pi ^ n} [/ math]
- ¿Cuántos niveles de álgebra hay?
- ¿Qué hay de malo con las siguientes manipulaciones matemáticas? [matemáticas] \ sqrt {-1} \ cdot \ sqrt {-1} = \ sqrt {(- 1) (- 1)} = \ sqrt {1} = 1, \ text {if} \ sqrt {-1} \ text {y} i \ cdot i = -1 [/ math]
- Si 3x + 7y = 1 y x-7y = 19, ¿qué es xy?
- Si [matemática] x + \ sqrt {x} = \ dfrac {16} {25} [/ matemática], ¿qué es [matemática] x ^ 2 [/ matemática]?
- Cómo encontrar el valor de [math] \ displaystyle [/ math] [math] \ int_ {0} ^ {\ infty} [cot ^ {- 1} x] dx, [/ math] donde [.] Denota el mayor función entera
Podemos resolver esto usando un resultado estándar para series geométricas:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} ar ^ k = \ dfrac {a \ left (1 – r ^ {n} \ right)} {1 – r} \ to \ dfrac { a} {1-r} [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math] if [math] \ left \ lvert r \ right \ rvert <1 [/ math]
[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} ar ^ k \ to \ dfrac {a} {1-r} – a = \ dfrac {ar} {1-r} [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]
Configurando [matemática] a = 1 [/ matemática] y [matemática] r = \ dfrac {1} {\ pi} [/ matemática], y observando que [matemática] \ left \ lvert r \ right \ rvert \ aprox 0.3183 < 1 [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {1} {\ pi ^ k} \ to \ dfrac {\ frac {1} {\ pi}} {1 – \ frac {1} {\ pi}} = \ dfrac {1} {\ pi – 1} \ aprox 0.4669 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math]