¿Es posible tener un valor mínimo absoluto pero no un valor mínimo local?

Answer 1

Es importante tener en cuenta que los mínimos absolutos solo pueden existir dentro del dominio sobre el que se define una función. Si existe, entonces ese valor también debe ser un mínimo local. Por lo tanto, esta pregunta es fundamentalmente defectuosa.

Sin embargo, si está buscando una función limitada por un valor más bajo que cualquier otra cosa y al mismo tiempo carente de mínimos / máximos locales, existen muchas de esas funciones. Por ejemplo, mire [math] f (x) = e ^ x [/ math].

Un par de cosas a tener en cuenta antes de mostrar que tiene un límite inferior pero no mínimos locales:

• [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] es su propia derivada. Se deduce que [matemáticas] \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} \ left (e ^ x \ right) = e ^ x [/ math], y así sucesivamente.
• [math] e ^ x> 0, \ forall x \ in \ mathbb {R} [/ math]
• [matemáticas] \ lim_ {x \ to- \ infty} e ^ x = 0 [/ matemáticas]

Debido a que [matemática] \ frac {d} {dx} [/ matemática] [matemática] e ^ x [/ matemática] siempre es positiva, [matemática] e ^ x [/ matemática] siempre está aumentando. Para valores de [matemática] x [/ matemática] mayor que [matemática] – \ infty [/ matemática], nunca es igual a cero. Esto evita que use herramientas como la concavidad o un cambio en el signo de la derivada para buscar puntos de inflexión o mínimos / máximos. No hay “colinas” o “valles” para encontrar utilizando estos métodos ya que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] se inclina suavemente hacia arriba a un ritmo cada vez mayor.

Sin embargo, si miramos la parte izquierda del gráfico, notamos que [math] e ^ x [/ math] se acerca cada vez más a cero. Podemos confirmar esto entendiendo que los valores negativos de [matemáticas] x [/ matemáticas] simplemente significan tomar el recíproco de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] para ese valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]: [matemáticas ] \ frac {1} {e ^ x} [/ math]. A partir de aquí, notamos que el denominador de esta fracción se agranda con bastante rapidez y eclipsa el numerador constante. El papel de [math] e [/ math] aquí no es tan relevante: es solo una constante fija y notarás el mismo efecto para cualquier constante (positiva) elevada a la potencia de [math] x [/ math].

Las funciones exponenciales como esta no pueden contener valores negativos (a menos que la base misma sea negativa). Por lo tanto, sabemos que [math] e ^ x [/ math] se aproxima a un valor de cero asintóticamente en [math] – \ infty [/ math]. Por lo tanto, el límite inferior de [math] e ^ x [/ math] es 0. Sin embargo, es importante tener en cuenta que no hay un número real [math] x [/ math] que podamos conectar para obtener este resultado: es solo un límite en el infinito. Esta es una distinción significativa y es el ingrediente secreto para determinar una función con un límite inferior pero sin mínimos locales.

Se deduce que todas las funciones exponenciales (con una base positiva y constante) son ejemplos de funciones que está buscando.

Answer 2

Depende de cómo se defina el mínimo absoluto.

[matemáticas] f (x) = e ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = -e ^ {- x} [/ matemáticas]

Si lo configuras igual a 0:

[matemáticas] 0 = -e ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = e ^ {- x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln 0 = -x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ ln 0 [/ matemáticas]

El logaritmo natural de 0 no está definido, por lo que no hay un mínimo local.

Si marca los puntos finales, obtiene:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ infty} f (x) = \ lim_ {x \ to \ infty} e ^ {- x} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to – \ infty} f (x) = \ lim_ {x \ to – \ infty} e ^ {- x} = \ infty [/ math]

Por lo tanto, la función tiene un mínimo absoluto de 0, pero no un mínimo local.

Si incluye funciones que no están definidas para todos los números reales, sería mucho más fácil encontrar un ejemplo.

Por ejemplo:

[matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] para [matemáticas] 0 \ le x \ le 2 [/ matemáticas]

En ese caso, el mínimo absoluto sería [matemática] 0 [/ matemática] en [matemática] x = 0 [/ matemática], sin embargo, no tiene un mínimo local, porque la pendiente siempre es 1.

Answer 3

Creo que sí. Si tiene una función que se define solo dentro de un rango específico, y el valor más bajo está en un extremo de ese rango, ese valor será el valor mínimo absoluto, pero no un mínimo local (*) (+).

(*) Eso supone que lo siguiente es falso: df (x) dx -> 0 como x -> l, donde l es el valor de x para el cual f (x) es el mínimo absoluto. Para un contraejemplo, considere la función sqrt (x) en los números reales. sqrt (x) no está definido para valores negativos de x, por lo que el mínimo absoluto es sqrt (0), que es 0. Pero también es un mínimo local porque dsqrt (x) dx = 0 cuando x = 0.

(+) Una forma de construir dicha función:
f (x) = | x | +1000 para x <3.0
f (x) = x para 3.0 <= x <5.0
f (x) = 100 + x para x> = 5.0

El mínimo absoluto es 3.0 (en x = 3.0), pero ese no es un mínimo local porque:
df (x) dx no está definido en x = 3 (hay un gran paso allí)
df (x) dx -> 1 como x -> 3 desde arriba
df (x) dx -> -1 como x -> 3 desde abajo

Caramba. De hecho, recuerdo algunos cálculos. Pensé que lo había olvidado todo en los 53 años desde que abandoné Tech y me convertí en un programador de computación.

Answer 4

Para los tipos de funciones en las que la mayoría de las personas están acostumbradas a pensar, los mínimos absolutos también son mínimos locales. Pero la definición habitual de mínimo local requiere que el valor de entrada a la función que produce el mínimo debe estar en una vecindad del dominio y que el valor de la función para todos los demás elementos en la vecindad debe ser mayor (o quizás no menor) .

Entonces, con este tipo típico de definición, aquí hay un contraejemplo:

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} x & x> 0 \\ -1 & x = -1 \ end {cases} [/ math]

Vemos que [math] f [/ math] no tiene un mínimo local de [math] 0 [/ math] en [math] x = 0 [/ math] ya que este punto no está en el dominio, sino el mínimo global de [ matemática] -1 [/ matemática] ocurre en el punto aislado [matemática] x = -1 [/ matemática] por lo que tampoco es un mínimo local.

Por supuesto, no es esencial excluir puntos aislados del mínimo local, por lo que un cambio menor en la definición llevaría a que todos los mínimos globales sean mínimos locales.

Answer 5

Un valor mínimo local de una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] en un intervalo [math] I [/ math] es un valor [math] f (x) [ / matemática] donde [matemática] x \ en I [/ matemática] y para cualquier otra [matemática] y \ en I [/ matemática], [matemática] f (x) \ leq f (y) [/ matemática]. Un valor mínimo absoluto es un valor [math] f (x) [/ math] donde [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math] y para cualquier otro [math] y \ in \ mathbb {R} [ / matemáticas], [matemáticas] f (x) \ leq f (y) [/ matemáticas]. Por lo tanto, un mínimo global es un mínimo local en el caso de que nuestro intervalo [matemática] I = [/ matemática] [matemática] \ mathbb {R} [/ matemática]. Por lo tanto, no podemos tener un mínimo absoluto pero no un mínimo local, ya que nuestro mínimo absoluto es un mínimo local. Si desea que sea “más local”, podemos tomar nuestras [matemáticas] x [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] sea un mínimo absoluto y construir un intervalo dentro del cual [matemáticas ] f (x) [/ math] es un mínimo local al hacer [math] I = [x – \ epsilon, x + \ epsilon] [/ math] para cualquier [math] \ epsilon \ in \ mathbb {R} [ /matemáticas].

Answer 6

Considere esta pregunta desde un punto de vista matemático discreto.

1. Tenemos una colección de puntos y eliminamos el punto más bajo absoluto de ese conjunto.
2. Luego miramos el punto que está a la izquierda del punto más bajo previamente eliminado en la recta numérica. El punto izquierdo debe tener un valor mayor o de lo contrario no habríamos seleccionado los mínimos globales en el paso 1.
3. Luego miramos el punto que está a la derecha del punto más bajo previamente eliminado en la recta numérica. El punto correcto debe ser mayor en valor o de lo contrario no habríamos seleccionado los mínimos globales en el paso 1.
4. Dados los resultados de los pasos 2 y 3, nuestros mínimos globales tienen garantizado un mínimo local.

Aunque el razonamiento discreto (porque no hay un punto izquierdo o derecho en el sentido continuo), esta lógica también es válida para el caso continuo. Si su punto no fuera un mínimo local, entonces habría un punto local que es más pequeño, lo que significa que debido a que otro punto es más pequeño, sus mínimos globales candidatos no son los mínimos globales reales.

Answer 7

No. Cada mínimo global es un mínimo local.

Answer 8

Depende de cómo definas cada uno.

Para una función [matemática] f: D_f \ rightarrow E: X \ rightarrow f (X) [/ math]

Un mínimo absoluto sería un valor de X, llamémoslo [matemática] X_ {min} [/ matemática] de modo que para cualquier [matemática] X \ neq X_ {min}, f (X) \ geq f (X_ {min })[/matemáticas]. Tal valor puede o no existir, dependiendo de la función que elija y si toma todo su dominio o solo una parte de él.

Ahora un mínimo local es el mismo, excepto que no está comparando [math] f (X_ {min}) [/ math] con todos los valores de [math] f (X), X \ en D_f [/ math] sino solo dentro un barrio que contiene X.

El problema que puede enfrentar es este: puede haber un mínimo absoluto X_min, pero no se incluye ninguna vecindad que contenga [math] X_ {min} [/ math] en [math] D_f. [/ math] Esto sucede mucho cuando [math] X_ {min} [/ math] está al borde de [math] D_f. [/ math]

En este caso sí, es posible tener un mínimo absoluto pero no un mínimo local.

Barrio (matemáticas) – Wikipedia