El método clásico de Ferrari, que depende del método de Cardano / Tartaglia para los cúbicos, es una forma de reducir la solución de cuarto a primero cuadrático y luego cúbico. El método es increíblemente complejo de expresar como una fórmula real y no es práctico en la mayoría de los casos para obtener una solución, al menos en el caso general.
La idea básica es extremadamente simple. Comenzamos queriendo resolver
[matemáticas] x ^ 4 + hacha ^ 3 + b ^ 2x + cx + d = 0 [/ matemáticas]
Primero mueva los términos de menor grado hacia la derecha y luego intente “completar el cuadrado” expresando los primeros 2 términos como
- ¿Cómo usaríamos el álgebra booleana para hacer un medio sumador?
- Para encontrar -sin (theta) en el círculo unitario, ¿mira dónde el pecado es negativo en el círculo unitario? ¿Esto se aplica a cos y tan?
- Demuestre que si los valores de a y c se dan y no son cero, ¿siempre es posible elegir un valor de b para que f (x) = ax ^ 2 + bx + c tenga raíces reales distintas?
- Cómo encontrar todas las soluciones de enteros [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]: [matemáticas] x ^ 3 + y ^ 3 + 3xy = 6021 [/ matemáticas]
- Cómo encontrar un cuadrado perfecto en matemáticas
[matemáticas] (x ^ 2 + \ frac {a} {2} x + \ frac {y} {2}) ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces la ecuación original se convierte
[matemáticas] (x ^ 2 + \ frac {a} {2} x + \ frac {y} {2}) ^ 2 = (\ frac {a ^ 2} {4} + yb) x ^ 2 + (\ frac {ay} {2} -c) x + \ frac {y ^ 2} {4} -d [/ math]
El parámetro y es nuestro para elegir. Para reducirlo, elegimos un valor para hacer que la expresión de grado 2 a la derecha tenga un discriminante 0. Si hacemos eso, entonces
[matemáticas] (\ frac {a ^ 2} {4} + yb) x ^ 2 + (\ frac {ay} {2} -c) x + \ frac {y ^ 2} {4} -d = (ex + f) ^ 2 [/ matemáticas]
para valores adecuados e, f, que conducen a una solución simple de la ecuación original.
A su vez, el discriminante de esta cuadrática es
[matemática] B ^ 2 – 4 AC = (\ frac {ay} {2} -c) ^ 2 – 4 * (\ frac {a ^ 2} {4} + yb) (\ frac {y ^ 2} { 4} -d) [/ matemáticas]
Al hacer un poco de álgebra, esto se vuelve equivalente a
[matemática] y ^ 3 – por ^ 2 + (ac-4d) y + 4bd-a ^ 2d-c ^ 2 = 0 [/ matemática]
Este es el cúbico resolutivo .
Encuentre una raíz de esto y luego sustitúyalo. Un conjunto completo de fórmulas incluye la solución del cúbico, pero detengámonos aquí ya que quería un resumen rápido.
Este procedimiento se puede encontrar en muchos lugares, pero intentemos con un ejemplo trabajado.
Este es un “ejemplo cocinado” con un resultado simple
Resolver:
[matemáticas] x ^ 4 -4x ^ 3 + 52x ^ 2–196x + 147 = 0 [/ matemáticas]
aquí
[matemáticas] a = -4 [/ matemáticas]
[matemáticas] b = 52 [/ matemáticas]
[matemáticas] c = -196 [/ matemáticas]
[matemáticas] d = 147 [/ matemáticas]
El resolutivo es por lo tanto
[matemática] y ^ 3–52y ^ 2 + 196y-10192 = 0 [/ matemática]
[matemáticas] y = 52 [/ matemáticas] es una raíz. Las otras dos raíces son complejas. No importa, solo necesitamos 1 raíz del resolvente. Entonces retrocedemos para obtener:
[matemáticas] x ^ 4–4x ^ 3 + 52x ^ 2–12 * x + 147 = (x ^ 2–2x + 26) ^ 2- (2x + 23) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Tomar raíces cuadradas da las respuestas.
Ya sea
[matemáticas] x ^ 2 – 2x + 26 = 2x + 23 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] x ^ 2–2x + 26 = -2x-23 [/ matemáticas]
Esto le da las cuatro raíces.
Di este ejemplo parcialmente trabajado para mostrar el mejor caso. Las fórmulas completas son intimidantes y no tienen mucho uso, excepto para los sistemas de álgebra computacional. Si realmente desea las raíces de un cuarto, incluidas las raíces complejas, se indica otro método, que funciona para grados superiores a 4.
Este procedimiento se puede adaptar para una quintica, pero hay un pequeño problema: la resolución es de mayor grado en lugar de menor.