¿Cómo se factorizan [matemáticas] x ^ 3-1 [/ matemáticas]?

Answer 1

A2A

En general, los polinomios se pueden manipular fácilmente utilizando el teorema del resto polinomial .

Teorema: El resto de la división t de un polinomio [matemático] f (x) [/ matemático] por un polinomio lineal [matemático] xa [/ matemático] es igual a [matemático] f (a) [/ matemático]. Particularmente, [math] xa [/ math] es un divisor de [math] f (x) [/ math] si y solo si [math] f (a) = 0 [/ math].

Sea [math] f (x) = x ^ 3–1 [/ math]. Tenga en cuenta que [matemáticas] f (1) = 1 ^ 3–1 = 1–1 = 0 [/ matemáticas]. Usando el teorema, podemos afirmar que [matemática] x-1 [/ matemática] es un divisor de [matemática] x ^ 3–1 [/ matemática]. Ahora necesitamos realizar la división de polinomios, ya que sabemos que [math] x ^ 3–1 [/ math] divide equitativamente [math] x-1 [/ math]. El método de división larga se puede implementar para obtener que la división de [matemática] x ^ 3–1 [/ matemática] por [matemática] x – 1 [/ matemática] sea igual a [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/matemáticas]. Como el discriminante de [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] es negativo, no podemos factorizar [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática] más.

Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 3–1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas].

Notas al pie

[1] Teorema del resto polinómico – Wikipedia

Answer 2

La factorización depende del campo de tierra.

Hay un solo cero [matemática] x = 1 [/ matemática] que puede ver con el “ojo de necesidad”.

Divide su polinomio dado por [matemática] x-1 [/ matemática] y recibe [matemática] x ^ 2 + x + 1 [/ matemática].

Como [math] x ^ 2 + x + 1 [/ math] no tiene ninguna raíz real, su factorización sobre los números reales (y todos los subcampos contenidos, como [math] \ mathbb {Q} [/ math]) es [matemáticas] (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

Sobre los números complejos, el polinomio cuadrático se descompone en los dos factores lineales conjugados [matemática] (x- \ theta) [/ matemática] y [matemática] (x- \ overline {\ theta}) [/ matemática] con [matemática] \ theta = {{-1+ \ sqrt {-3}} \ over 2} [/ math].

Answer 3

Si estamos factorizando sobre los números complejos, el teorema fundamental del álgebra establece que cualquier polinomio monico con grado n puede factorizarse en la forma [math] (x – r_1) (x-r_2) … (x-r_n) [/ math ], donde [math] r_n [/ math] es la enésima raíz del polinomio.

En este caso, las raíces son las raíces cúbicas de la unidad, [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] – \ frac {1} {2} \ pm i \ frac {\ sqrt {3}} {2} [ /matemáticas].

Entonces podemos decir [matemáticas] x ^ 3 – 1 = (x – 1) (x + \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) (x + \ frac {1} {2} – i \ frac {\ sqrt {3}} {2}) [/ math]. Tenga en cuenta que el producto de los últimos dos términos da la misma cuadrática que sugieren las otras respuestas.

Answer 4

¿Qué tal esto?

Sumar y restar pares de términos.

[matemáticas] x ^ 3-1 = x ^ 3-x ^ 2 + x ^ 2-x + x-1 [/ matemáticas]

Luego agrúpelos.

[matemáticas] x ^ 3-1 = (x ^ 3-x ^ 2) + (x ^ 2-x) + (x-1) [/ matemáticas]

Luego factoriza el término común de cada uno.

[matemáticas] x ^ 3-1 = x ^ 2 \ cdot (x-1) + x \ cdot (x-1) +1 \ cdot (x-1) [/ math]

Luego aplique la propiedad distributiva.

[matemáticas] x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

Answer 5

Recuerde diferencia de cubos:

[matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

[math] x ^ 2 + x + 1 [/ math] solo tiene raíces complejas porque [math] b ^ 2-4ac = -3 [/ math] es negativo, por lo que no podemos factorizar más.

Answer 6

Te mostraré dos métodos infalibles para factorizar un cúbico.

Necesitas comenzar con un factor.

Answer 7

Solución:

Si la pregunta dada es ( x³ – 1 ), la solución se da a continuación:

Expande la identidad

( x – y ) ³ = x³ – y³ – 3xy ( x – y ), o

( x – y ) ³ + 3xy ( x – y ) = x³ – y³ .

Usamos x³ – y³ = ( x – y ) ³ + 3xy ( x – y ) para resolver ( x³ – 1 ) –

( x³ – 1³ ) = ( x – 1 ) ³ + 3 × x × 1 ( x – 1 ),

( x³ – 1³ ) = ( x – 1 ) ³ + 3x ( x – 1 ), o (Forma más simple)

( x³ – 1 ) = ( x – 1 ) ³ + 3x² – 3x .

Pero si la ecuación dada es ( x3 – 1 ) o ( 3x – 1 ), entonces no se puede factorizar porque está en la forma más simple.

Answer 8

Curiosamente, ninguna de las 10 respuestas hasta ahora lo está haciendo de la manera fácil.

Por aritmética de la escuela primaria, 999 es divisible por 9, como lo es por ejemplo 99999999999999999999999999999999999. 26 es divisible por 2, 63 es divisible por 3, 124 es divisible por 4, 215 es divisible por 5 y así sucesivamente para todo x .

Por lo tanto, un factor es (x-1) y el otro debe tener la forma [matemática] x ^ 2 + ax + 1 [/ matemática], y al multiplicar los dos a tiene que ser +1 para los términos x² y x para cancelar muy bien.

Answer 9

Diferencia de cubos: a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 3)

Supongo que ‘x3’ es ‘x cubed’.

x ^ 3–1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1)

Solo para verificar: (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = x ^ 3-x ^ 2 + x ^ 2-x + x-1 = x ^ 3 (-x ^ 2 + x ^ 2) + (- x + x) -1 = x ^ 3–1

Answer 10

Puedes usar la súper fórmula

X ^ n – Y ^ n = (XY) * [X ^ (n-1) + X ^ (n-2) * Y ^ 1 +… + X ^ 2 * Y ^ (n-3) + X ^ 1 * Y ^ (n-2) + Y ^ (n-1)], para ‘n’ natural (en su caso 3)

Es fácil mostrar la igualdad cancelando el ‘()’

Answer 11

tenemos fórmulas para eso

a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)

Por lo tanto, x ^ 3–1 puede escribirse como

x ^ 3–1 ^ 3 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1)

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Answer 12

[matemáticas] Use la fórmula a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 3-1 = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [tomando a = xb = 1] [/ matemáticas]

Answer 13

(2x + 1) (x-1)

3x-2x + 1x-1

3x-x-1

Tan cerca como puedo llegar