TL; DR: Si [matemática] F_0 = 0 [/ matemática] y [matemática] F_1 = 1 [/ matemática], entonces (fórmula de Binet):
[math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ F_n = \ frac {1} {\ sqrt {5}} (\ varphi ^ n – \ varphi ‘^ n) [/ math]
donde [math] \ varphi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} [/ math] y [math] \ varphi ‘= – \ frac {1} {\ varphi} = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} [/ matemáticas]
La secuencia de Fibonacci es una secuencia recursiva lineal de segundo orden:
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[math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ F_ {n + 2} = F_ {n + 1} + F_n [/ math]
Y [matemática] F_0 = 0 [/ matemática], [matemática] F_1 = 1 [/ matemática].
El polinomio característico asociado es: [matemática] x ^ 2 – x – 1 = 0 [/ matemática] cuyas raíces son [matemática] \ varphi [/ matemática] y [matemática] – \ varphi ‘[/ matemática].
Esto significa que las secuencias: [matemáticas] (\ varphi ^ n) [/ matemáticas] y [matemáticas] (\ varphi ‘^ n) [/ matemáticas] son dos “vectores” en el espacio vectorial de secuencias de números reales, que span es el conjunto de secuencias que respetan la ecuación recursiva de Fibonacci.
Por lo tanto: [math] \ forall n \ in \ mathbb {n}, \ F_n = \ alpha (\ varphi ^ n) + \ beta (\ varphi ‘^ n) [/ math]
Usando las dos condiciones iniciales [matemáticas] F_0 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] F_1 = 1 [/ matemáticas], obtienes los dos coeficientes. (¡Al igual que para las ecuaciones diferenciales escalares lineales de segundo orden!).
También puede encontrar esto transformando la secuencia recursiva lineal de segundo orden en [math] \ mathbb {R} [/ math] en una secuencia recursiva lineal de primer orden en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] (dos -dimensionales).
Si [math] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ \ Phi_n = \ begin {pmatrix} F_n \\ F_ {n + 1} \ end {pmatrix} [/ math]
Entonces tiene :
[matemática] \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ Phi_ {n + 1} = \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} \ Phi_n [/ math]
Por lo tanto, solo necesita poder calcular el poder [matemático] n [/ matemático] de la matriz de Frobenius asociada a la fórmula recursiva para tener el término [matemático] n [/ matemático] directamente. Y para hacerlo … puedes diagonalizarlo, y … ¡el espectro de la matriz de Frobenius es [matemática] \ {\ varphi, \ varphi ‘\} [/ math]! Qué hermoso !
