¿Cómo se demuestra la igualdad de los polinomios, lo que significa para todos los polinomios?

Answer 1

Dos polinomios [matemática] p (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_1x + a_0 [/ matemática] y [matemática] q (x) = b_mx ^ m + b_ {m-1} x ^ {m-1} + \ cdots + b_1x + b_0 [/ math] son ​​iguales si y solo si [math] m = n [/ math] y [math] a_k = b_k [/ math] para todos [math] k \ in \ {0,1,2, \ ldots, n \} [/ math].

Puedo oírte decir:

“Pero espera un segundo. Si lo que estás diciendo es cierto, ¿qué significa [matemáticas] x ^ 2 + x-6 = 0 [/ matemáticas]? Según su definición, [matemática] x ^ 2 + x-6 [/ matemática] y [matemática] 0 [/ matemática] no son polinomios iguales … ¿y aquí son iguales? ¡Esto es confuso!”

La respuesta a esta pregunta es que la ecuación [matemática] x ^ 2 + x-6 = 0 [/ matemática] no dice que los dos polinomios a cada lado de la ecuación sean iguales.

Necesitamos el concepto del valor de un polinomio en [math] c [/ math] aquí. El valor del polinomio [math] p (x) = a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_1x + a_0 [/ math] en [math] c [/ math] , denotado por [math] p (c) [/ math], es [math] a_nc ^ n + a_ {n-1} c ^ {n-1} + \ cdots + a_1c + a_0 [/ math]. La ecuación [matemática] p (x) = 0 [/ matemática] nos pide que encontremos cada [matemática] c [/ matemática] para la cual el valor de [matemática] p (x) [/ matemática] en cada uno de estos [math] c [/ math] ‘s es [math] 0 [/ math]. Estas [matemáticas] c [/ matemáticas] se llaman raíces del polinomio [matemáticas] p (x) [/ matemáticas].

Es importante hacer esta diferencia cuando se trata de polinomios, ya que es bastante sutil, en cuanto a notación.

Answer 2

Escríbalos en forma canónica y verifique que los coeficientes sean iguales para cada término.

Si no puede escribirlos en forma canónica, no existe una única forma estándar de demostrar que son iguales, pero generalmente puede hacerlo.

Answer 3

El conjunto [math] \ {1 [/ math] [math], x, x ^ 2, x ^ 3,… \} [/ math] puede mostrarse como un conjunto de funciones linealmente independientes que abarca el espacio de todos polinomios en [matemáticas] x [/ matemáticas] y así es una base. Por lo tanto, cada polinomio tiene una representación única en esta base. Es por eso que solo tiene que verificar que los coeficientes de cada término coincidan.

La definición es por definición: cada polinomio se puede expresar como [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] N [/ matemáticas] y algunas [matemáticas] a_0,…, a_N . [/ math] Entonces, cada polinomio es una combinación lineal de los elementos en [math] \ {1, x, x ^ 2, x ^ 3,… \} [/ math].

Para mostrar independencia lineal, deje que [math] \ sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n = 0 [/ math]. Debe mostrar todos [math] a_n = 0 [/ math]. Esta igualdad debe ser válida para todos [matemática] x [/ matemática], así que deje que [matemática] x = 0 [/ matemática] que luego da [matemática] a_0 = 0. [/ Matemática] Luego, diferencie para obtener [matemática] \ sum_ {n = 1} ^ N n a_n x ^ {n-1} = 0 [/ matemática] y nuevamente use [matemática] x = 0 [/ matemática] para determinar que [matemática] a_1 = 0. [/ matemática] Repita este procedimiento para obtener todos [math] a_n = 0. [/ math] Por lo tanto, [math] \ {1, x, x ^ 2,…, x ^ N \} [/ math] es un conjunto linealmente independiente para todos [ matemática] N [/ matemática] y, por lo tanto, el conjunto completo [matemática] \ {1, x, x ^ 2, x ^ 3,… \} [/ matemática] es linealmente independiente.

La unicidad proviene de la independencia lineal. Suponga que dos polinomios son iguales: [matemática] \ sum_ {n = 0} ^ N a_nx ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ M b_nx ^ n [/ matemática]. Luego deje que [math] K = \ max \ {N, M \} [/ math] y escriba esto como [math] \ sum_ {n = 0} ^ K a_nx ^ n = \ sum_ {n = 0} ^ K b_nx ^ n [/ matemática] usando coeficientes cero cuando sea necesario (es decir: si [matemática] N