¿Cómo se obtiene [math] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin (ax)} {\ sin (bx)} = \ dfrac {a} {b} [/ math]

Answer 1

A2A: ¿Cómo se obtiene [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (ax)} {\ sin (bx)} = \ dfrac {a} {b} [/ matemáticas] sin usar ¿La regla del hospital?

Primero, demuestre que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas] sin la regla de l’Hôpital. (La prueba geométrica usa [matemáticas] 1 \ le \ frac {\ theta} {\ sin \ theta} \ le \ frac {1} {\ cos \ theta}.) [/ Matemáticas] [1]

Luego, escribe tu límite como

[matemáticas] \ qquad \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left (\ dfrac {\ sin (ax)} {ax} \ right) \ left (\ dfrac {bx} {\ sin (bx)} \ right ) \ left (\ dfrac {ax} {bx} \ right) [/ math]

Luego, a partir de las reglas habituales de límites, como “el límite del producto es el producto de los límites” [2] (siempre que existan todos los límites, lo que hacen en este caso), se obtiene el resultado.

Notas al pie

[1] La respuesta de Awnon Bhowmik a ¿Por qué [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 [/ matemáticas]?

[2] Respuesta de Michael Lamar a ¿Cómo demuestras que el límite del producto de dos funciones es igual al límite de cada función multiplicado entre sí? (Leer comentarios)

Answer 2

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (ax)} {\ sin (bx)} [/ math]

(0/0) forma usando L’Hopital

= [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {a \ cos (ax)} {b \ cos (bx)} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ dfrac {a} {b} [/ matemáticas]

Sin usar L’Hopital:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ sin (ax)} {\ sin (bx)} [/ math]

= [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {\ dfrac {\ sin (ax)} {ax}} {\ dfrac {\ sin (bx)} {bx}} \ dfrac {ax} { bx}
[/matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {1} {1} \ dfrac {a} {b}
[/matemáticas]

[matemáticas] = a / b [/ matemáticas]

Answer 3

Gracias por el A2A!

Esto puede ser una especie de trampa, pero voy a utilizar el hecho de que [matemáticas] \ sin {x} \ aprox x [/ matemáticas] para muy pequeñas [matemáticas] x [/ matemáticas].

Yo llamo a esto trampa porque se deriva de la serie Taylor de [math] \ sin {x} [/ math].

Como [matemática] x \ a 0 [/ matemática], [matemática] ax \ a 0 [/ matemática] y [matemática] bx \ a 0 [/ matemática]. Esto no es difícil de ver. Esto también significa que [matemáticas] \ sin {ax} \ aprox ax [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sin {bx} \ aprox bx [/ matemáticas], entonces:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {ax} {bx} = \ lim_ {x \ a 0} \ frac {a} {b} = \ frac {a} {b} [/ math ]

QED

Answer 4

Sin usar “La Règle de l’Hopital”, es muy incómodo debido a las constantes “a” y “b”, pero si está “feliz” de sustituir algunos números obvios como a = 8 y b = 4, entonces debería ser fácil mostrar que el límite es 2.

¡No es una “prueba” pero es convincente!

Pero, ¿qué sentido tiene no usar la Regla de L’Hopital?

Answer 5

Reescribe seno como una serie de Taylor.

Cancele un factor de x de todos los términos en numerador y denominador.

Enchufe directamente 0 para x.