¿Es esta una ecuación conocida: [matemáticas] \ frac12 + \ frac13 \ cdot (1- \ frac12) + \ frac15 \ cdot (1- \ frac13) \ cdot (1- \ frac12) + \ frac17 \ cdot (1- \ frac15 ) \ cdot (1- \ frac13) \ cdot (1- \ frac12) \ dotsc = 1? [/ math]

Answer 1

Esto es cierto para una amplia variedad de secuencias, no solo primos. Porque todo lo que está haciendo es (1-suma anterior) por una fracción menos que uno.

Digamos que cada término es

[matemáticas] \ displaystyle t_n = \ frac {1} {p_n} \ prod_ {i = 1} ^ {n-1} \ left (1 – \ frac {1} {p_i} \ right) [/ math]

Vea cómo son las sumas parciales:

[matemáticas] \ displaystyle s_1 = t_1 = \ frac {1} {p_1} [/ matemáticas]

Nota [matemática] \ displaystyle 1 – s_1 = 1 – \ frac {1} {p_1} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle s_2 = t_1 + t_2 = \ frac {1} {p_1} + \ frac {1} {p_2} \ left (1- \ frac {1} {p_1} \ right) [/ math]

Nota

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} 1 – s_2 & = 1 – \ frac {1} {p_1} – \ frac {1} {p_2} \ left (1- \ frac {1} {p_1} \ right ) \\ & = \ left (1 – \ frac {1} {p_1} \ right) (1- \ frac {1} {p_2}) \ end {align *} [/ math]

Ahora puedes probar por inducción:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} 1 – s_n & = 1 – (t_n + s_ {n-1}) \\ & = (1 – s_ {n-1}) – t_n \\ & = \ prod_ {i = 1} ^ {n-1} \ left (1 – \ frac {1} {p_i} \ right) – \ frac {1} {p_i} \ prod_ {i = 1} ^ {n-1} \ left (1 – \ frac {1} {p_n} \ right) \\ & = \ prod_ {i = 1} ^ {n} \ left (1 – \ frac {1} {p_i} \ right) \ end {align *}[/matemáticas]

En otras palabras, siempre que [math] t_n \ rightarrow 0 [/ math], esto converja a 1. Esto es cierto incluso para secuencias como [math] p = \ {2,2,2,2, \ cdot \ cdot \ cdot \} [/ math]. Que incluirá constantes, números pares, números primos, etc. Los criterios exactos parecen ser:

[matemáticas] s_n \ rightarrow 1 \ iff \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {p_n} = \ infty [/ math]

Por lo tanto, no converge a cero para progresiones geométricas (o incluso fibonacci).

Las secuencias para las que funciona son:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {k} = \ frac {n} {k} \ rightarrow \ infty [/ math]

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {i} = O (\ log (n)) \ rightarrow \ infty [/ math]

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {\ text {prime} _i} = O (\ log (\ log (n)) \ rightarrow \ infty [/ math]

Answer 2

El primer término es la proporción de enteros cuyo factor primo más bajo es 2 (el primer primo).
El segundo término es la proporción de enteros cuyo factor primo más bajo es 3 (el segundo primo).
El tercer término es la proporción de enteros cuyo factor primo más bajo es 5 (el tercer primo).
Y así.
Sumando todo esto, “moralmente”, deberíamos obtener el 100% (ya que casi todos los enteros son divisibles por algún primo).

Aquí hay algunos detalles técnicos para establecer rigurosamente la convergencia, pero esa es la idea intuitiva.

---

Para aquellos que deseen desarrollar esto técnicamente, podemos interpretar con precisión “proporción de enteros” en todas partes como “proporción de enteros en R”, donde R es un rango finito de enteros cuya longitud es divisible por cada uno de los primeros N primos Esto muestra que 1 – la suma de los primeros N términos de esta serie es el producto de (1 – 1 / p) sobre los primeros N primos, o dicho de otro modo, es el recíproco del producto de (1 + 1 / p + 1 / p ^ 2 + 1 / p ^ 3 + …) sobre los primeros N primos. Distribuyendo esto, es el recíproco de la suma de los recíprocos de aquellos enteros positivos cuyos factores primos están contenidos dentro de los primeros N primos.

A medida que la serie armónica diverge, esto nos dice que el producto recíproco en cuestión va a 0, por lo que nuestra serie efectivamente converge a 1. De hecho, dado que tomar N términos de la serie armónica produce un valor justo por encima de log (N), nosotros vemos que tomar N términos de nuestra serie nos da un valor dentro de la distancia 1 / log (N) de 1.

Answer 3

La ecuación es verdadera.

Un boceto: tenga en cuenta que la expresión en cuestión es equivalente a mostrar que

[matemáticas] 1 – (1 – \ frac {1} {2}) (1 – \ frac {1} {3}) \ cdots (1 – \ frac {1} {p_n}) = 1 [/ matemáticas]

En otras palabras, la pregunta es equivalente a mostrar que [matemáticas] \ ln (1 – \ frac {1} {2}) + \ ln (1 – \ frac {1} {3}) \ cdots [/ math] diverge al infinito negativo Como [math] \ ln (1 – x) \ approx -x [/ math], esto es equivalente a mostrar que las sumas de los recíprocos de los primos divergen. Este es un hecho bien conocido, de hecho, la suma de los recíprocos de los primos menores que x es aproximadamente [matemática] \ ln (\ ln (x)). [/ Matemática]

Answer 4

No estoy seguro de si es una igualdad conocida o incluso verdadera, pero puedo decirte que se basa en la secuencia de Fibonacci.

Parece ser:

Gran suma [
De N = 3,
Para N = inf,
(1 / Fib (N)) * Producto_grande (
De i = 3,
Para i = N-1,
(Fib (i) – 1) / Fib (i)
)
]

(Reemplazaré el Pseudo Equation Markup con Markup real si llego a editar esto más tarde)

No puedo decirte si realmente converge hacia 1, pero intuitivamente puedo mirarlo y decirte que casi seguro converge hacia alguna constante. Entonces 1 no parece irrazonable.

EDITAR: ignorar, la fórmula está relacionada con la secuencia de primos en lugar de la secuencia de Fibonacci

Answer 5

Oye, lo escribiste para que se sepa. / s

En general, una ecuación conocida tendrá variables desconocidas, construidas en un formato como F = ma