¿Hay algún método para encontrar el valor de las torres de poder como [matemáticas] 2 ^ {((1/2) ^ {((1/3) ^ {((1/4) ^ {\ ldots}}}} [/ matemáticas]?

Answer 1

Siguiendo el consejo de Alon, puse un código python (ver más abajo), solo para ver lo que esta torre evalúa numéricamente. Parece que esta torre no converge en un solo valor, sino que converge en un estado de salto entre dos valores: 1.5782935928826618, 1.6136717364680377

para n en el rango (2,100):
x = 1 / n
para i en rango (n-1, 1, -1):
x = (1 / i) ** x
imprimir (n, 2 ** x)

Dejaré que otros resuelvan la prueba formal. Pero el ciclo 2 no debería sorprender a nadie, ya que la adición de [matemáticas] (1 / n) [/ matemáticas] a la parte superior de la torre tiene una influencia notable (raíz n), mientras que la adición de [matemáticas] ( 1 / n) ^ {1 / (n + 1)} [/ math] no debería, ya que el último valor se limita a 1. O más específicamente, para grandes [math] n [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1- \ frac {\ ln (n)} {n + 1} \ right) ^ {n + 1} = e ^ {- \ ln ( n)} = \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

y si tomamos la raíz [math] (n + 1) ^ {th} [/ math] de ambos lados, obtenemos:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {n} \ right) ^ {1 / (n + 1)} = 1- \ frac {\ ln (n)} {n + 1} [/ matemáticas]

Answer 2

Como mencionó Alon Amit, no hay forma de evaluar estas expresiones en general. Pero hay algunas pruebas bastante buenas de cuándo convergen tales expresiones.

Por ejemplo, este artículo de 1995 proporciona dos de estas pruebas, que en cierto sentido son óptimas:

https://www.researchgate.net/pub …

Answer 3

Presumiblemente, estás preguntando sobre torres como

[matemáticas] \ displaystyle 2 ^ {\ frac {1} {2} ^ {\ frac {1} {3} ^ \ frac {1} {4}}} [/ matemáticas]

El método para evaluar tales potencias es simplemente calcularlas paso a paso, usando las reglas habituales de exponenciación (la asociatividad correcta implica que empiezas desde arriba). En general, no hay atajos ni trucos involucrados, al igual que no hay trucos involucrados en el cálculo de [matemáticas] 2 \ times \ frac {1} {2} \ times \ frac {1} {3} \ times \ frac {1 } {4} [/ matemáticas].

EDITAR: la pregunta se cambió para incluir un pequeño “punto punto punto …” en la parte superior, lo que implica una torre infinita de exponentes. A veces, se puede mostrar que estas expresiones, como cualquier otra expresión anidada infinita, tienen un valor como límite razonable, y a veces se puede evaluar ese valor. Nuevamente, no existe un método único que nos permita abordar universalmente tales expresiones.