¿Cómo hago un problema de álgebra donde cada término tiene su propia desviación estándar? Por ejemplo, 88 +/- 2 dividido por 4.0 +/- .2

Answer 1

Respuesta corta: no puedes, sin más información.

Si X es una variable aleatoria con un pdf [math] f_X [/ math] e Y es una variable aleatoria con un pdf [math] f_Y [/ math], y ambos son independientes, entonces X / Y es una variable aleatoria con la distribución:

[matemáticas] \ displaystyle f_ {x / y} (z) = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f _X (x) f_Y (y) \ delta (z – \ frac {x} {y}) dx dy [/ math]

donde [math] \ delta [/ math] es la función delta de Dirac.

(Gracias a Timon Manfred Gehr por señalar un error).

(Si no son independientes, entonces uno reemplaza [math] f _X (x) f_Y (y) [/ math] con la densidad conjunta, [math] f_ {X, Y} (x, y) [/ math]. ) Para calcular esto, debe conocer las distribuciones de X e Y, no solo sus desviaciones estándar. No hay garantía de que esta integral doble tenga una solución ordenada de forma cerrada. Es posible que tenga que recurrir a la integración numérica o la programación de una simulación.

Si X e Y son independientes, entonces se puede calcular la desviación estándar de su producto sin conocer la distribución de cada uno, siempre que se conozcan los medios y las desviaciones estándar de X e Y. Sin embargo, esto no funciona con la división, porque Conocer la desviación estándar de Y no le indica la desviación estándar de 1 / Y.

Para tomar un ejemplo extremo: Supongamos que X e Y son variables normales estándar con media cero y desviación estándar y varianza uno, que es tan bien comportado y fácil como puede pedir que sean dos variables. Puede pensar que la desviación estándar de X / Y también será una. Pero, de hecho, X / Y tiene una distribución Cauchy y la varianza de un Cauchy es infinita / indefinida.

Si está trabajando con límites en lugar de desviaciones estándar, las cosas son un poco más fáciles, especialmente si sus variables son todas positivas. Luego, poner límites a X / Y es solo una maximización bivariada y un problema de minimización.

Answer 2

El significado habitual no es la desviación estándar sino el rango. En ese caso, el rango del resultado es de [matemática] \ frac {88–2} {4.0 + 0.2} = \ frac {86} {4.2} = 20.5 [/ matemática] a [matemática] \ frac {88+ 2} {4.0-0.2} = \ frac {90} {3.8} = 23.7 [/ math], que escribiría [math] 22 \ pm {2} [/ math].