Considere la cuadrática dentro de la raíz cuadrada
[matemáticas] x ^ {2} -4x + 3 = (x-2) ^ {2} -1 \ tag {1} [/ matemáticas]
Esto debería despertar nuestro interés porque hay un factor de [matemáticas] (x-2) [/ matemáticas] fuera de la integral. Desde Trig tenemos muchas identidades, pero una de gran utilidad para nosotros aquí es
[matemáticas] 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ mbox {sec} ^ {2} \ theta \ implica \ mbox {sec} \ theta-1 = \ tan ^ {2} \ theta \ tag {2} [/matemáticas]
- Para hacer ponche de frutas para 8 estudiantes, 1/2 L de concentrado se mezcla con 3 1/2 L de agua. ¿Cuántos litros de concentrado se necesitan para hacer un ponche de fruta de esta fuerza para 28 estudiantes?
- ¿Cuál es la ecuación del círculo que toca la línea x = 0y = 0 & x = c?
- ¿Cuál es la prueba matemática de factorial de 0 igual a 1?
- ¿Cuál es la derivada de [math] \ displaystyle \ frac {tan (\ frac {\ pi x} {x})} {\ sqrt {7 + 4x}} [/ math]?
- ¿Cómo encuentro [math] \ int \ frac {dx} {1 + x ^ 3} [/ math]?
De (2) vemos que la integral está motivando la sustitución
[matemáticas] (x-2) = \ mbox {sec} ^ {2} \ theta \ implica \ dfrac {dx} {d \ theta} = \ mbox {sec} \ theta \ tan \ theta \ tag {3} [ /matemáticas]
Ahora volviendo a la integral y usando (1), (2) y (3)
[matemáticas] \ begin {align *} \ int \ dfrac {1} {(x-2) \ sqrt {x ^ {2} -4x + 3}} \ mbox {} dx & = \ int \ dfrac {1} {(x-2) \ sqrt {(x-2) ^ {2} -1}} \ mbox {} dx \\ & = \ int \ dfrac {1} {(x-2) \ sqrt {(x- 2) ^ {2} -1}} \ mbox {} \ dfrac {dx} {d \ theta} \ mbox {} dx \\ & = \ int \ dfrac {1} {\ mbox {sec} \ theta \ sqrt {\ mbox {sec} ^ {2} \ theta-1}} \ mbox {sec} \ theta \ tan \ theta \ mbox {} d \ theta \\ & = \ int 1 \ mbox {} d \ theta \\ & = \ theta + c \\ & = \ mbox {sec} ^ {- 1} (x-2) + c \ end {align *} [/ math]