Cómo resolver [math] \ displaystyle {\ lim_ {x \ to 1} \ frac {\ sqrt {x} -1} {\ sqrt [3] {x} -1}} [/ math] sin derivadas

Answer 1

Bueno. Intenta este problema por algún tiempo y no lo entiende. Ahora piense, ¿cuál es la parte más difícil (irritante) de este problema?

¡Por supuesto, los signos radicales (también conocidos como los poderes fraccionarios)!

---

Ahora aplicamos una de las mejores estrategias en la resolución de problemas. Y eso es…

Para eliminar la parte más difícil!

Sip. Retire la parte más difícil y luego intente resolver el problema. Una vez que lo haga, piense cómo necesita ajustar la solución para que funcione incluso para la pregunta original.

---

Bien. ¡Eliminemos los radicales, entonces!

¿Cómo? Uno podría preguntar. Veamos … ¿Qué tal si hacemos los poderes enteros en su lugar? Diga [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas]?

Nuestro problema se vuelve

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {x \ to1} \ frac {x ^ 2 – 1} {x ^ 3 – 1}} [/ matemáticas]

Factorizando,

[matemáticas] = \ displaystyle {\ lim_ {x \ to1} \ frac {(x – 1) (x + 1)} {(x – 1) (x ^ 2 + x + 1)}} [/ matemáticas]

Cancelando [matemáticas] (x – 1) [/ matemáticas],

[math] = \ displaystyle {\ lim_ {x \ to1} \ frac {(x + 1)} {(x ^ 2 + x + 1)}} [/ math]

[matemáticas] = 2/3 [/ matemáticas]

Aquí vamos. Eso fue sencillo.

---

Ahora, ¿cómo resolvemos el problema original usando esto?

Piensa

¡Si! ¿Qué tal sustituir [math] t = \ sqrt [6] {x} [/ math]? Sabemos que dado que [matemática] x [/ matemática] tiende a [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] t [/ matemática] también tendería a [matemática] 1 [/ matemática]. Ahora, el problema se convierte,

[matemáticas] \ displaystyle {\ lim_ {t \ to1} \ frac {t ^ 3 – 1} {t ^ 2 – 1}} [/ matemáticas]

¡Procediendo de la manera anterior, obtenemos la respuesta como [matemáticas] 3/2 [/ matemáticas]!

¡Lo hicimos!

(si tiene alguna duda, ¡no dude en preguntar!)

Answer 2

Usando la identidad, [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas],

[matemáticas] (ab) = \ frac {a ^ 3-b ^ 3} {a ^ 2 + ab + b ^ 2} [/ matemáticas],

[matemáticas] a = \ sqrt [3] {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] (cd) = \ frac {c ^ 2-d ^ 2} {c + d} [/ matemáticas]

[matemáticas] c = \ sqrt {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle {\ lim_ {x \ to 1} \ frac {\ sqrt {x} -1} {\ sqrt [3] {x} -1}} [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle {\ lim_ {x → 1} \ frac {\ frac {(x-1)} {\ sqrt {x} +1}} {\ frac {(x-1)} {(\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1)}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle {\ lim_ {x → 1} \ frac {\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1} {\ sqrt {x} +1}} [ /matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

Recuerda una regla de oro.

1. Si evalúa un límite en el infinito, solo importan los términos de orden más alto de la expansión de Taylor en numerador y denominador.
2. Si evalúa un límite de un punto, solo importan los términos de orden más bajo de la expansión de Taylor en numerador y denominador.

En su caso, es la regla 2. Demostraré:

Tanto el numerador como el denominador van a cero, por lo que llegamos a sus términos de primer orden.

[matemáticas] \ sqrt {x} – 1 = \ frac {1} {2} (x-1) + O ((x-1) ^ 2) [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 1 [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ sqrt [3] {x} – 1 = \ frac {1} {3} (x-1) + O ((x-1) ^ 2) [/ matemáticas] como [matemáticas] x \ a 1 [/matemáticas].

Entonces [matemáticas] \ frac {\ sqrt {x} – 1} {\ sqrt [3] {x} – 1} = \ frac {\ frac {1} {2} + O (x-1)} {\ frac {1} {3} + O (x-1)} \ to \ frac {3} {2}. [/ Math]

Puede rechazar mi respuesta, ya que en realidad usé derivados en la expansión de Taylor, pero de todos modos lo pasé bien 🙂

Answer 4

El límite a medida que x se acerca a 1 de (x ^ (1/2) – 1) / (X ^ (1/3) -1) puede resolverse mediante el simple reemplazo de x = y ^ 6. Esto da como resultado el límite a medida que y se acerca a 1 de (y ^ 3–1) / (y ^ 2–1). Luego, factorizar y ^ 3–1 como (y-1) (y ^ 2 + y + 1) e y ^ 2–1 como (y-1) (y + 1) da como resultado que y se acerca a 1 y no es del todo 1 un resultado igual a lim cuando y se acerca a 1 de (y ^ 2 + y + 1) / (y + 1), que es 3/2.

Answer 5

Una identidad maravillosa que me enseñaron en el séptimo grado es [matemáticas] a ^ 2-b ^ 2 = \ left (ab \ right) \ left (a + b \ right) [/ math]. Pero hay un análogo más general:

[matemáticas] a ^ n – b ^ n = \ left (ab \ right) \ cdot \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} a ^ ib ^ {ni}. [/ math]

Esta identidad es muy fácil de demostrar: solo realice la multiplicación en el lado derecho utilizando la propiedad distributiva, que lo convertirá en dos sumas, y tenga en cuenta que las dos sumas solo difieren en dos términos y el resto se restan entre sí.

Esto significa que [matemáticas] a ^ 3 – b ^ 3 = \ left (ab \ right) \ left (a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ right) [/ math]. ¡Ahora eso es algo que podemos usar!

Multiplicamos tanto el numerador como el denominador por [matemáticas] \ left (\ sqrt {x} +1 \ right) \ left (\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1 \ derecha) [/ matemáticas]. Esto da

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {\ left (\ sqrt {x} -1 \ right) \ left (\ sqrt {x} +1 \ right)} {\ left (\ sqrt [3] {x} -1 \ right) \ left (\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1 \ right)} \ cdot \ frac {\ sqrt [3] {x ^ 2 } + \ sqrt [3] {x} +1} {\ sqrt {x} +1}. [/ math]

¡Ahora podemos usar la identidad de la que estaba hablando! Simplifica la primera fracción.

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {x-1} {x-1} \ cdot \ frac {\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1} {\ sqrt {x} +1} [/ math]

y, como resultado, ¡lo elimina por completo! Ahora podemos ingresar 1 en la fracción restante y obtener la respuesta

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 1} \ frac {\ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1} {\ sqrt {x} +1} = \ frac {3 } {2}. [/ Matemáticas]

Answer 6

En general [matemáticas] (x ^ 3-1) = (x-1) (x ^ 2 + x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ displaystyle \ lim_ {x \ to1} \ dfrac {\ sqrt {x} -1} {\ sqrt [3] {x} -1} \ equiv \ displaystyle \ lim_ {x \ to1} \ dfrac {({\ sqrt [3] {x}} ^ 2+ \ sqrt [3] {x} + 1)} {\ sqrt {x} + 1} = 3/2 [/ matemáticas]

[matemática] ([/ matemática] Atención: el numerador no es [matemática] x-1 \ equiv {\ sqrt [3] {x}} ^ 3–1 [/ matemática] [matemática] \ espacio [/ matemática] sino solo [matemáticas] \ espacio \ sqrt {x} -1 \ espacio [/ matemáticas] que es [matemáticas] \ espacio [/ matemáticas] [matemáticas] \ dfrac {x-1} {\ sqrt {x} +1}) [ /matemáticas]

Answer 7

Simplemente inicie Matematica, ingrese “Límite [(Sqrt [x] – 1) / (Potencia [x, (3) ^ – 1] – 1), x -> 1]” y listo, obtendrá 3/2. No hay derivados involucrados. 🙂

Si no le gusta ese método, hay otra forma de hacerlo. Comencé sustituyendo x con x al cuadrado. Debido a la relación de continuidad y al hecho de que si x tiende a 1, entonces también x al cuadrado. Si no está satisfecho con esta afirmación, siempre podemos volver a sustituirla por x después de hacer los trucos que siguen aquí; entonces digo que

[matemáticas] \ underset {x \ a 1} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {\ sqrt {x} -1} {\ sqrt [3] {x} -1} = \ underset {x \ a 1} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {x-1} {{{x x ^ ^ 2/3}} – 1} [/ math].

Luego recuerdo las identidades estándar para cuadrado y cubo respectivamente:

[matemáticas] {{a} ^ {2}} – {{b} ^ {2}} = (a + b) (ab) [/ matemáticas]

[matemáticas] {{a} ^ {3}} – {{b} ^ {3}} = (ab) ({{a} ^ {2}} + ab + {{b} ^ {2}}) [/ matemáticas].

A partir de la identidad en cubos, podemos construir un conjugado cúbico que podemos multiplicar en la expresión estableciendo [math] a = x ^ {2/3} [/ math] y [math] b = 1 [/ math] de modo que

[matemáticas] \ frac {\ left (x-1 \ right) \ left ({{x} ^ {4/3}} + {{x} ^ {2/3}} + 1 \ right)} {\ left ({{x} ^ {2/3}} – 1 \ derecha) \ izquierda ({{x} ^ {4/3}} + {{x} ^ {2/3}} + 1 \ derecha)} = \ frac {\ left (x-1 \ right) \ left ({{x} ^ {4/3}} + {{x} ^ {2/3}} + 1 \ right)} {{{x} ^ {2}} – 1} = \ frac {{{x} ^ {4/3}} + {{x} ^ {2/3}} + 1} {x + 1} [/ matemáticas].

Si tomamos el límite de esto, entonces tenemos

[matemáticas] \ underset {x \ a 1} {\ mathop {\ lim}} \, \ frac {{{x} ^ {4/3}} + {{x} ^ {2/3}} + 1} {x + 1} = \ frac {3} {2} [/ matemáticas].

Si no le gusta la sustitución que hicimos antes, simplemente reemplace [math] x [/ math] con [math] \ sqrt {x} [/ math] que dejará el límite sin cambios.

Answer 8

Multiplique el numerador y el denominador por los conjugados, a saber, por [matemáticas] \ sqrt {x} +1 \ mbox {y} \ sqrt [3] {x ^ 2} + \ sqrt [3] {x} +1 [/ matemáticas ] y mira lo que pasa.

Answer 9

numerador: diff de cubos

Denominador: diff de cuadrados

[matemáticas] \ frac {(x ^ {\ frac {1} {6}} – 1) (x ^ {\ frac {1} {3}} + x ^ {\ frac {1} {6}} + 1 )} {(x ^ {\ frac {1} {6}} – 1) (x ^ {\ frac {1} {6}} + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {x ^ {\ frac {1} {3}} + x ^ {\ frac {1} {6}} + 1} {x ^ {\ frac {1} {6}} + 1} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ rightarrow 1} \ frac {x ^ {\ frac {1} {3}} + x ^ {\ frac {1} {6}} + 1} {x ^ {\ frac {1} {6}} + 1} = \ frac {1 ^ {\ frac {1} {3}} + 1 ^ {\ frac {1} {6}} + 1} {1 ^ {\ frac {1 } {6}} + 1} = \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

Answer 10

Lo que podría hacer es hacer una sustitución para que ya no tenga miedo. Listo? Decir [matemáticas] x = y⁶. [/ matemáticas] ¿Por qué eso? 6 es el MCM de 2 y 3, y eso te libera de las raíces:

[math] \ lim_ {y \ rightarrow 1} \ frac {y³-1} {y²-1} [/ math]. Tanto el numerador como el denominador tienen un factor [math] y-1 [/ math], así que dividamos eso:

[matemáticas] \ lim_ {y \ rightarrow 1} \ frac {y² + y + 1} {y + 1} [/ matemáticas]

y de repente tus problemas han terminado.

Answer 11

Podrías graficar la función y ver qué valor se aproxima al gráfico alrededor de 1. si tu límite está definido, deberías poder “completar” el gráfico.

Eso se parece mucho a 1.5, ¿no?

No es una solución perfecta, pero dado que lo está haciendo artificialmente difícil, obtendrá soluciones artificialmente imperfectas :).

Answer 12

Answer 13

¡Siempre puedes obtener una respuesta por sustitución elemental!

Creo que estaría bastante satisfecho, el límite es 1.5

¿Por qué no usarías la regla de L’Hopital?