Su pregunta, tal como está escrita, es extremadamente simple de probar:
Si su número tiene la forma [math] x = \ frac {a} {2 ^ n \ times 5 ^ n} = \ frac {a} {10 ^ n}, \ a \ in \ mathbb {Z} \ [ / math] entonces hay dos casos:
- [matemáticas] n \ le 0 [/ matemáticas]. En este caso, [math] x [/ math] es simplemente un número entero y hemos terminado. Espero que esto debería haber sido excluido en los detalles de la pregunta, pero no lo fue.
- [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas]. En este caso, simplemente podemos escribir la expansión decimal del número entero [math] a [/ math] y poner un punto decimal [math] n [/ math] dígitos desde el final. Entonces nuestra representación decimal es igual a [math] \ frac {a} {10 ^ n} [/ math] y hemos terminado.
QED
Espero que lo que realmente quiera sea una prueba del resultado más difícil: si [math] x [/ math] tiene una representación decimal final, entonces debe tener la forma [math] \ frac {a} {10 ^ n} [/matemáticas].
- ¿Puedes probar que [matemáticas] 1 + 1 = 3 [/ matemáticas]?
- ¿Qué elementos del conjunto [math] \ left \ {x \ in \ mathbb {R}: \ sin (\ pi x) = 0 \ right \} [/ math]?
- ¿Por qué la integral definida [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \ frac {1} {x ^ 2} dx, [/ matemáticas] divergente?
- ¿Cuál es la solución de [math] \ hbox {Real} \ left (\ dfrac {ZA} {ZB} \ right) = 0 [/ math]. [matemática] Z, A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son números complejos (A diferente de B)?
- Hay una fracción [matemática] \ frac {n} {m} [/ matemática] El numerador es para a + b más grande que el denominador, entonces [matemática] n = a + b + m [/ matemática]. [Matemática] \ frac {n-2b} {m + 3a + b} [/ math] es recíproco a la primera fracción. ¿Qué es esta fracción?
No responderé esta pregunta exacta sino una pregunta equivalente:
La representación decimal para [math] x [/ math] terminará si y solo si [math] \ x [/ math] puede escribirse en la forma:
[matemáticas] x = \ frac {a} {2 ^ n5 ^ m}, \ quad a \ in \ mathbb {Z}, \ quad n, m \ in \ mathbb {N}, \ quad [/ math] [matemáticas ] MCD (a, 2 ^ n5 ^ m) = 1 [/ matemáticas]
Las condiciones aseguran que el numerador y el denominador sean enteros y que la fracción esté en sus términos más bajos. Por lo tanto, la fracción es una representación única de [math] x [/ math] como cociente de enteros.
¿Cómo probamos esto?
Bueno, la parte ‘ if ‘ es simple: si [math] x [/ math] está en la forma correcta, entonces podemos multiplicar el numerador y el denominador por una potencia adecuada de [math] 2 [/ math] o [math] 5 [/ math] para que el denominador se convierta en una potencia entera de [math] 10 [/ math]. Probamos anteriormente que, en esta forma, el decimal terminaría (esta era la prueba del enunciado original de la pregunta).
Ahora para la parte ‘ solo si ‘:
Si la representación decimal de [math] x [/ math] termina, entonces [math] x = \ frac {s} {10 ^ t} [/ math] para algunos [math] s \ in \ mathbb {Z} [/ math] y [math] t \ in \ mathbb {N} [/ math]. Esto se debe a que, si el decimal termina después de [math] t [/ math] dígitos decimales, [math] s = 10 ^ tx [/ math] debe ser un número entero.
Entonces tenemos [matemáticas] x = \ frac {s} {10 ^ t} = \ frac {s} {2 ^ t5 ^ t} [/ matemáticas]. Podemos reducir esta fracción a sus términos más bajos, [math] \ frac {p} {q} [/ math]. Al hacerlo, debemos tener que [matemáticas] q | 2 ^ t5 ^ t [/ matemáticas] y el teorema fundamental de la aritmética nos dice que esto implica que [matemáticas] q = 2 ^ m5 ^ n [/ matemáticas] donde [ math] 0 \ le m, n \ le t [/ math] que es lo que necesitamos.
Por lo tanto, con la ayuda de nuestro gran amigo, el teorema fundamental de la aritmética , hemos demostrado que un decimal final implica que [math] x [/ math] debe ser racional y tener la forma [math] \ frac {a} {2 ^ n5 ^ m} [/ matemáticas].
QED
Esto puede parecer largo y muchos de los pasos parecen triviales. Cada paso es importante, como lo es la declaración de la pregunta original.
Hay una gran diferencia entre implicación , requerimiento y equivalencia entonada por el uso de las frases ‘ si ‘, ‘ solo si ‘ y ‘ si y solo si ‘ respectivamente:
- b es verdadero si a es verdadero (no dice nada si a es falso).
- b es verdadero solo si a es verdadero (es decir, si a es falso, entonces b es falso, no dice nada si a es verdadero).
- b es verdadero si y solo si a es verdadero (si [matemáticas] a [/ matemáticas] es verdadero, entonces también lo es [matemáticas] b [/ matemáticas] y si [matemáticas] a [/ matemáticas] es falso, entonces también lo es [matemáticas ] b [/ matemáticas]).