¿Por qué la integral definida [matemáticas] \ int _ {- 1} ^ {+ 1} \ frac {1} {x ^ 2} dx, [/ matemáticas] divergente?

Answer 1

A primera vista, podríamos pensar que esta integral se puede evaluar con un resultado finito. Después de todo, sabemos por nuestro estudio de integrales que [math] \ displaystyle \ int \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx = – \ frac {1} {x} + C [/ math], y seguramente [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx = \ bigg [- \ frac {1} {x} \ bigg] _ {- 1} ^ 1 = \ left (- \ frac {1} {1} \ right) – \ left (\ frac {1} {1} \ right) = -2 [/ math], ¿no es así? La respuesta, por supuesto, es no, ¡no está bien! La razón por la que debemos mirar más de cerca es que la integral incluye una singularidad: en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] el integrando [matemáticas] \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas] no está definido, entonces las reglas simples de la integral de Riemann no pueden aplicarse de manera confiable.

Tenga en cuenta que la singularidad no significa automáticamente que la integral debe ser divergente. Algunas singularidades pueden ser “eliminadas”, y la integral restante evaluada con un resultado finito. Por ejemplo, [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {1} {x} \, \ mathrm dx = 0 [/ math], aunque deberíamos tener en cuenta que este resultado se obtiene utilizando Valor principal de Cauchy.

Sin embargo, la singularidad en la integral [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math] NO es removible, y la integral ES divergente. Podemos mostrar esto de la siguiente manera.

Deje que [math] \ varepsilon_1 [/ math] y [math] \ varepsilon_2 [/ math] sean pequeños valores positivos. Intentaremos “recortar” la singularidad eliminando la parte de la integral entre [matemática] – \ varepsilon_1 [/ matemática] a [matemática] \ varepsilon_2 [/ matemática] e investigando si la parte restante converge a un valor finito como hacemos [math] \ varepsilon_1 [/ math] y [math] \ varepsilon_2 [/ math] infinitesimalmente pequeño.

En otras palabras, evaluaremos [math] \ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon_1 \ to 0} \ lim _ {\ varepsilon_2 \ to 0} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- \ varepsilon_1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx + \ int _ {\ varepsilon_2} ^ {1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {- \ varepsilon_1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math] no contiene ninguna singularidad y el integrando es integrable a través de todo el rango de integración, por lo que podemos evaluar esto como una integral simple: [matemática] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {- \ varepsilon_1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx = \ bigg [- \ frac {1} {x} \ bigg] _ {- 1} ^ {- \ varepsilon_1} = \ frac {1} {\ varepsilon_1} – 1 [/ math].

Ahora [math] \ dfrac {1} {\ varepsilon_1} [/ math] se hace grande a medida que [math] \ varepsilon_1 [/ math] se vuelve pequeño: de hecho, dado cualquier [math] N> 0 [/ math] tan grande como nos gusta podemos encontrar [matemáticas] E_1 [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] \ varepsilon_1 N + 1 \ \ por lo tanto \ \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {- \ varepsilon_1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx> N [/ math].

Del mismo modo, [math] \ displaystyle \ int _ {\ varepsilon_2} ^ {1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx [/ math] no contiene ninguna singularidad y el integrando es integrable en todo el rango de integración, por lo que también podemos evaluar esto como una integral simple: [math] \ displaystyle \ int _ {\ varepsilon_2} ^ {1} \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx = \ bigg [- \ frac {1} {x} \ bigg] _ {\ varepsilon_2} ^ {1} = -1 + \ frac {1} {\ varepsilon_2} [/ math].

Y [math] \ dfrac {1} {\ varepsilon_2} [/ math] también se hace grande a medida que [math] \ varepsilon_2 [/ math] se vuelve pequeño: de hecho, dado cualquier [math] M> 0 [/ math] tan grande como queramos podemos encontrar [matemáticas] E_2 [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] \ varepsilon_2 M + 1 \ \ por lo tanto \ \ displaystyle \ int _ {\ varepsilon_2} ^ 1 \ frac {1} {x ^ 2} \, \ mathrm dx> M [/ math].

Por lo tanto, dado cualquier [matemática] N, M> 0 [/ matemática] tan grande como queramos, podemos encontrar [matemática] E_1, E_2 [/ matemática] tal que [matemática] \ varepsilon_1 <E_1 [/ matemática] y [ math] \ varepsilon_2 M + N [/ math]. Entonces el límite no converge.

Answer 2

La función [matemática] f (x) = \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemática] no tiene límites en cada vecindad de [matemática] 0 [/ matemática] – intervalos de la forma [matemática] (- \ delta , + \ delta) [/ math] con [math] \ delta> 0 [/ math]. Entonces definimos

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 1 \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx = \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ 0 \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx + \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ a 0} \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {- \ epsilon} \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx + \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ displaystyle \ int _ {\ epsilon} ^ 1 \ dfrac {1} {x ^ 2} \, dx [/ math]

[math] = \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ left (\ dfrac {1} {\ epsilon} – 1 \ right) + \ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ left (\ dfrac { 1} {\ epsilon} – 1 \ right) [/ math].

Como al menos uno de estos límites no existe, la integral diverge. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

El integrando alrededor de 0 es divergente. Esto no significa inmediatamente que la integral sea divergente, por ejemplo [matemática] x ^ {- 1/2} [/ matemática] es divergente en [matemática] x = 0, [/ matemática] pero la integral de 0 no es divergente.

En este caso, el integrando es simétrico y, por lo tanto, la integral es igual a

[matemáticas] I = \ int _ {- 1} ^ 1 dx x ^ {- 2} = 2 \ int_0 ^ 1 dx x ^ {- 2} [/ matemáticas]

Ahora la antiderivada de [matemáticas] x ^ {- 2} [/ matemáticas] es [matemáticas] – x ^ {- 1} [/ matemáticas]. Tenemos que evaluar esto en [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]. Puede tomar el límite ya que la parte inferior de la integral va a 0:

[matemáticas] I = \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} (-2 x ^ {- 1}) \ Big | _ \ epsilon ^ 1 = -2 + 2 \ lim _ {\ epsilon \ rightarrow 0} \ epsilon ^ { -1} [/ matemáticas]

Esto claramente diverge porque a medida que [math] \ epsilon [/ math] se acerca a 0, la expresión crece sin límite, que es la definición de una divergencia.

Answer 4

Si tuviera que aplicar directamente los límites después de encontrar la anti-derivada de [math] \ frac {1} {x²} [/ math], podría parecer que el valor existe (o es convergente). Pero con esto estás considerando que el punto x = 0 es parte de su dominio, que no lo es. Esta es la razón por la cual separamos la integral en 2 partes:

[matemáticas] \ displaystyle I = \ int_-1 ^ {0} [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {x²} \, dx + \ int_0 ^ 1 \ frac {1} {x²} \, dx [/ matemáticas]

Una vez que los haya dividido y al resolverlos, puede descubrir fácilmente que las integrales individuales son indefinidas o divergentes.

Answer 5

Porque también estamos tomando el área de 1/0, y eso se acercará al infinito de positivo y negativo.