¿Qué es 27 ^ (27 ^ 27) mod 8?

Answer 1

Como [math] 27 [/ math] y [math] 8 [/ math] son ​​números coprimos, podemos aplicar el teorema de Euler, que establece que si tenemos dos números coprime [math] a [/ math] y [math] n [ / math], luego [math] a ^ {\ phi (n)} \ equiv 1 \ (mod \ n) [/ math], [math] \ phi (n) [/ math] es la función totient evaluada en [ matemáticas] n [/ matemáticas].

[math] \ phi (8) [/ math] puede calcularse como [math] 8 * (1 – \ frac {1} {2}) [/ math], que produce [math] 4 [/ math]. Por lo tanto, [matemática] 27 ^ 4 [/ matemática] y, por extensión, [matemática] 27 ^ {4k} [/ matemática], donde [matemática] k [/ matemática] es un número entero, deje un resto de [matemática] 1 [/ math] cuando se divide por [math] 8 [/ math].

Ahora, necesitamos encontrar cuál es el resto de [matemáticas] 27 ^ {27} \ (mod \ 4) [/ matemáticas]. Como [matemáticas] 27 \ equiv -1 \ (mod \ 4) [/ matemáticas], tenemos que [matemáticas] 27 ^ {27} \ equiv (-1) ^ {27} \ equiv -1 \ equiv 3 \ ( mod \ 4) [/ math]. Por lo tanto, [matemáticas] 27 ^ {27} [/ matemáticas] es un número de la forma [matemáticas] 4k + 3 [/ matemáticas], y por lo tanto [matemáticas] 27 ^ {27 ^ {27}} \ equiv 27 ^ 3 \ equiv 3 ^ 3 \ equiv 27 \ equiv 3 \ (mod \ 8) [/ math].

Answer 2

Tales problemas deben resolverse desde arriba.

REM | 27 ^ 27 ^ 27/8 | =?

Deje 27 ^ 27 = X

Entonces el problema original se convierte en: REM | 27 ^ X / 8 | =?

Ahora, REM | X / 8 | = REM | 27 ^ 27/8 | = REM | 3 ^ 27/8 | = REM | 3 * (3 ^ 2) ^ 13/8 | = 3

Por lo tanto, REM | 27 ^ 27 ^ 27/8 | = | REM | 27 ^ 3/8 | = REM | 3 ^ 3/8 | = 3

Resto final = 3