Deje que [matemáticas] X [/ matemáticas] y [matemáticas] Y [/ matemáticas] sean independientes e idénticamente distribuidas en variables aleatorias uniformes durante el intervalo (0,1) y deje que [matemáticas] S = X + Y [/ matemáticas]. ¿Cuál es la probabilidad de que la ecuación cuadrática [matemática] 9x ^ 2 + 9Sx + 1 = 0 [/ matemática] no tenga una raíz real?

Answer 1

[matemáticas] X \ sim \ text {U} (0,1) [/ matemáticas]

[matemática] Y \ sim \ text {U} (0,1) [/ matemática]

[matemáticas] f_X (x) = \ dfrac {1} {1-0} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f_Y (y) = \ dfrac {1} {1-0} = 1 [/ matemáticas]

Como [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] son ​​independientes:

[matemáticas] f_ {X, Y} (x, y) = f_X (x) \ cdot f_Y (y) = 1 \ cdot 1 = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] S = X + Y [/ matemáticas]

Asumiré que [math] x [/ math] en la ecuación cuadrática es diferente de la variable aleatoria [math] X [/ math], porque de lo contrario tendrías una ecuación de 2 variables, y las raíces generalmente se refieren a un 1 ecuación variable

Para que una ecuación cuadrática de la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] no tenga raíces reales, entonces [matemática] b ^ 2 – 4ac <0 [/ matemática]

Por lo tanto, estamos buscando:

[matemáticas] P ((9S) ^ 2 – 4 (9) (1) <0) = P (81S ^ 2 – 36 <0) = P \ left (S ^ 2 <\ dfrac {36} {81} \ derecha) = P \ izquierda ((X + Y) ^ 2 <\ dfrac {36} {81} \ derecha) [/ matemática]

Como [math] X [/ math] y [math] Y [/ math] solo toman valores positivos, solo tenemos que preocuparnos por la raíz principal.

[matemáticas] P \ left (X + Y <\ dfrac {2} {3} \ right) = P \ left (Y <\ dfrac {2} {3} – X \ right) [/ math]

Haré un gráfico en desmos:

Las intersecciones de la gráfica son ambas 2/3. Como el pdf es una constante, solo tenemos que tomar el área multiplicada por el pdf. Por lo tanto, la probabilidad es:

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {2} {3} \ cdot \ dfrac {2} {3} \ cdot 1 = \ dfrac {2} {9} [/ matemáticas]