Estoy interpretando la pregunta para que lea como “¿Cómo podemos determinar la raíz de la unidad [matemáticas] n ^ {th} [/ matemáticas]?”
Según el teorema de De Moivre,
[matemáticas] [r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)] ^ {\ frac {p} {q}} = r ^ \ frac {p} {q} [\ cos (\ frac {p} { q} \ theta) + i \ sin (\ frac {p} {q} \ theta)] [/ math]
Como queremos las raíces de la unidad [matemáticas] n ^ {th} [/ matemáticas], tomamos [matemáticas] \ frac {p} {q} = \ frac {k} {n}, [/ matemáticas] [matemáticas] \ theta = 2 \ pi [/ math] y [math] r = 1, [/ math]
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donde [matemáticas] 0 \ le k \ le (n-1) [/ matemáticas]
Entonces nosotros tenemos,
LHS [matemáticas] = [r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)] ^ {\ frac {p} {q}} = [1 (\ cos 2 \ pi + i \ sin 2 \ pi)] ^ {\ frac {k} {n}} = (1) ^ {\ frac {k} {n}}. [/ math]
RHS = [matemáticas] r ^ \ frac {p} {q} [\ cos (\ frac {p} {q} \ theta) + i \ sin (\ frac {p} {q} \ theta)] = (1 ) ^ \ frac {k} {n} [\ cos (\ frac {k} {n} 2 \ pi) + i \ sin (\ frac {k} {n} 2 \ pi)] [/ math]
[matemáticas] \ Rightarrow \ qquad (1) ^ {\ frac {k} {n}} = (1) ^ \ frac {k} {n} [\ cos (\ frac {k} {n} 2 \ pi) + i \ sin (\ frac {k} {n} 2 \ pi)] [/ math]
La magnitud de [math] (1) ^ \ frac {k} {n} = 1 [/ math] para todos [math] 0 \ le k \ le (n-1) [/ math]
[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] Las n raíces de la unidad están dadas por [math] [\ cos (\ frac {2k \ pi} {n}) + i \ sin (\ frac {2k \ pi} { n})], [/ matemáticas]
donde [matemáticas] 0 \ le k \ le (n-1) [/ matemáticas]