Cómo mostrar d / dx [(e ^ x) -1] / x = 1

Answer 1

Bueno, dado que es una función exponencial, definitivamente no podemos esperar una pendiente constante. Eso es posible solo en caso de una línea estelar. Pero podemos resolver el valor de x para el que obtenemos este valor. Solo como una idea, adjunto cómo se ve el gráfico. Lo he trazado en GeoGebra:

Así que ahora vamos a la parte de resolución. En primer lugar, encontremos su derivada:

[matemáticas] y = \ dfrac {e ^ x-1} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ dfrac {xe ^ x- (e ^ x-1)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ‘= \ dfrac {(x-1) e ^ x + 1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora tenemos que encontrar el valor de x cuando la derivada es igual a 1. Ahora estoy haciendo un poco de método de prueba y error para resolverlo.

[matemáticas] \ dfrac {(x-1) e ^ x + 1} {x ^ 2} = 1 [/ matemáticas]

Ahora x ≠ 0 como denominador nunca puede ser 0.

En su lugar, sustituiré x = 1 para poder deshacerme de la molesta función exponencial.

Resulta que cuando sustituimos x = 1 obtenemos 1 / x² = 1 y entonces x = 1 satisface la ecuación.

Aquí hay una captura de pantalla de Wolfram Math Alpha para verificar lo mismo:

Así que finalmente podemos concluir que:

[matemática] \ dfrac {d} {dx} \ displaystyle \ left (\ dfrac {e ^ x-1} {x} \ right) = 1 [/ math] en [math] \ boxed {x = 1} [/ matemáticas]

Answer 2

¿Quizás quiso decir [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {e ^ x-1} {x} = 1 [/ matemáticas]? Como Arnab Lahiri ha escrito, la declaración derivada no tiene ningún sentido.

Bueno, hay varias formas de probar [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {e ^ x-1} {x} = 1 [/ matemáticas]. Una de ellas es la regla de l’Hospital :

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ dfrac {e ^ x-1} {x} = \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ left [\ dfrac {\ frac {d} {dx} (e ^ x-1)} {\ frac {d} {dx} (x)} \ right] = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ dfrac {e ^ x} {1} = 1 [/ math ]

Otra prueba se debe al libro de texto de Matemáticas para la Clase XI del Consejo Nacional de Investigación y Capacitación Educativa (NCERT), India. Esta prueba aparece en la sección ‘Material complementario’ en la edición de reimpresión de 2012. Primera nota que [math] \ dfrac {1} {1+ | x |} \ le \ dfrac {e ^ x-1} {x} \ le 1+ (e-2) | x | \ \ \ forall x \ en [-1,1] \ barra invertida 0 [/ math]. Ahora tome límites en todas partes como [math] x \ rightarrow 0 [/ math] y use el teorema del sandwich .