Cómo calcular algo de la forma [math] \ displaystyle \ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ int_ {0} ^ {x} f (x, t) \ mathrm dt [/ math ]

Answer 1

Puede usar la regla de Leibniz [1] si su función [matemáticas] f [/ matemáticas] es suficientemente regular. Por ejemplo, si [math] f [/ math] y [math] \ frac {\ partial} {\ partial x} f [/ math] son ​​continuas para [math] t \ in [/ math] [math] [0, x] [/ math] y [math] x [/ math] en algún intervalo, luego

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ int_0 ^ xf (x, t) \ dt = f (x, x) + \ int_0 ^ x \ frac {\ partial} {\ partial x} f (x , t) \ dt. [/ matemáticas]

Solo para dar un poco de intuición: la derivada es el límite

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ int_0 ^ xf (x, t) \ dt = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left (\ int_0 ^ {x + h} f (x + h, t) \ dt – \ int_0 ^ xf (x, t) \ dt \ right). [/ math]

En el RHS podemos agregar “cero” en forma de

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {x + h} f (x, t) \ dt – \ int_0 ^ {x + h} f (x, t) \ dt. [/ math]

Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {1} {h} \ left (\ int_0 ^ {x + h} f (x + h, t) \ dt – \ int_0 ^ xf (x, t) \ dt \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {1} {h} \ left (\ int_0 ^ {x + h} f (x + h, t) \ dt – \ int_0 ^ {x + h} f (x, t) \ dt \ right) + \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left (\ int_0 ^ {x + h} f (x, t) \ dt – \ int_0 ^ {x} f (x, t) \ dt \ right). [/ math]

Ahora el primer límite es aproximadamente (si [math] f [/ math] es lo suficientemente regular)

[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ {x} \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {h} \ left (f (x + h, t) – f (x, t) \ right) \ dt = \ int_0 ^ x \ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, t) \ dt. [/ math]

Esta es una especie de regla de Leibniz “habitual” cuando los límites de la integral no dependen de [math] x [/ math].

El segundo límite es

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {h \ a 0} \ frac {1} {h} \ left (\ int_0 ^ {x + h} f (x, t) \ dt – \ int_0 ^ {x} f (x , t) \ dt \ right) = f (x, x). [/ math]

Esto viene directamente del teorema fundamental del cálculo [2].

Notas al pie

[1] Regla integral de Leibniz – Wikipedia

[2] Teorema fundamental del cálculo – Wikipedia

Answer 2

En muchos casos, sostiene que

[matemáticas] \ displaystyle {\ dfrac {d} {dx} \ int_0 ^ xf (x, t) dt = \ int_0 ^ x \ dfrac {\ partial} {\ partial x} f (x, t) dt} [/ matemáticas]

Por ejemplo, de Real Analysis de Gerald B. Folland:

Answer 3

¿Cómo se calcula algo de la forma [matemáticas] \ frac {d} {dx} \ int_0 ^ x {f (x, t) dt} [/ matemáticas] ?

Si los límites de integración son constantes, solo puede diferenciar bajo el signo integral: [matemática] \ int_0 ^ b {\ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, t) dt} [/ math].

Por otro lado, si la función no dependía de [math] x [/ math], entonces podría usar el teorema fundamental del cálculo y obtener [math] f (x) [/ math].

En este caso, obtiene la suma de los dos casos [math] \ int_0 ^ x {\ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, t) dt} + f (x, x) [/ math].

Cuando diga “algo de la forma …” generalicemos:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ int_ {a (x)} ^ {b (x)} {f (x, t) dt} = \ int_ {a (x)} ^ {b (x) } {\ frac {\ partial} {\ partial x} f (x, t) dt} + f (x, b (x)) \ frac {db} {dx} – f (x, a (x)) \ frac {da} {dx}. [/ math]

Answer 4

Supongamos que [math] f: D_x \ times D_t \ rightarrow I [/ math]

Y luego definamos

[matemática] \ forall x \ en D_x, g_x: D_t \ rightarrow I, g_x (t) = f (x, t) [/ math]

Entonces podemos escribir

[matemáticas] \ int_0 ^ xf (x, t) dt = \ int_0 ^ x g_x (t) dt [/ matemáticas]

Supongamos que [math] g_x [/ math] es integrable sobre [math] [0, x] [/ math], en otros términos

[matemáticas] \ existe G_x: D_t \ rightarrow I_2, \ forall t \ in [0, x], \ frac {d} {dt} G_x (t) = g_x (t), G_x (0) = 0 [/ math ]

Entonces

[matemáticas] \ int_0 ^ xf (x, t) dt = G_x (x) – G_x (0) = G_x (x) [/ matemáticas]

Por definición, tenemos

[matemáticas] \ frac {d} {dx} G_x (x) = g_x (x) = f (x, x) [/ matemáticas]

Para que podamos escribir

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ int_0 ^ xf (x, t) dt = f (x, x) [/ matemáticas]

Answer 5

A primera vista, siento que debería ser igual a as (f (x, t) en t = x) – (f (x, t) en t = 0)) o simplemente escribiría f (x, x ) -f (x, 0).

Answer 6

Puede usar Derivado bajo signo integral (DUIS) o regla integral de Leibniz para resolverlo.

Bastante fácil, verdad. Espero que haya respondido tu pregunta.

Para más detalles, vaya a: http://www.math.uconn.edu/~kconr …

o puede referirse a: Regla integral de Leibniz – Wikipedia