Cómo demostrar que [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ sin (an)} {n} = \ frac {1} {2} (\ pi – a), 0 <a <2 \ pi [/ matemáticas]

Answer 1

La conversión de seno a un exponencial complejo sería un pensamiento muy natural aquí, pero dado que Anastasiya ha adoptado ese enfoque, también se puede usar un método diferente poniendo en uso algunas transformaciones de Mellin.

Un teorema muy importante de las transformaciones de Mellin en estados sumativos:

Si [math] \ mathcal {M} \ {f (x) \} = \ overline {f} (s) [/ math] entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} f (n + a) = \ dfrac {1} {2 \ pi i} \ int_ {c – i \ infty} ^ {c + i \ infty} \ overline {f} (s) \ zeta (s, a) \, ds [/ math]

donde [matemáticas] \ displaystyle \ zeta (s, a) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {1} {(n + a) ^ s}, 0 \ le a \ le 1 [/ matemática] es la función zeta de Hurwitz.

Volviendo a la pregunta, primero veamos la transformación de Mellin de [math] \ sin (ax) / x, [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ mathcal {M} \ left \ {\ dfrac {\ sin ax} {x} \ right \} & = \ int_ {0} ^ {\ infty} x ^ {s- 2} \ sin ax \, dx \\ & = \ mathcal {F_s} \ left \ {\ sqrt {\ dfrac {\ pi} {2}} x ^ {s-2} \ right \} \\ & = – \ dfrac {\ Gamma (s-1)} {a ^ {s-1}} \ cos \ left (\ dfrac {\ pi s} {2} \ right) \ end {align} \ tag * {} [/ matemáticas]

aquí [math] \ mathcal {M} \ {\} [/ math] es el operador de transformación Mellin y [math] \ mathcal {F_s} \ {\} [/ math] es el operador de transformación de seno de Fourier.

Ahora, usando el teorema de las transformaciones de Mellin en suma,

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {\ sin an} {n} \ right) = – \ dfrac {1} {2 \ pi i} \ int_ {c – i \ infty} ^ {c + i \ infty} \ dfrac {\ Gamma (s-1)} {a ^ {s-1}} \ zeta (s) \ cos \ left (\ dfrac {\ pi s} {2} \ right) \, ds \ tag * {} [/ math]

Además, como la función zeta de Riemann satisface la ecuación funcional de reflexión,

[matemáticas] (2 \ pi) ^ s \ zeta (1-s) = 2 \ Gamma (s) \ zeta (s) \ cos \ left (\ dfrac {\ pi s} {2} \ right) \ tag * {}[/matemáticas]

nuestra suma evalúa a,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align} \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ dfrac {\ sin an} {n} \ right) & = – \ dfrac {a} {2} \ cdot \ dfrac {1} {2 \ pi i} \ int_ {c – i \ infty} ^ {c + i \ infty} \ left (\ dfrac {2 \ pi} {a} \ right) ^ s \ dfrac { \ zeta (1-s)} {s-1} \, ds \\ & = – 2 \ pi i \ cdot \ dfrac {a} {2} \ cdot \ dfrac {1} {2 \ pi i} \ left [\ operatorname {Res} f (0) + \ operatorname {Res} f (1) \ right] \\ & = \ dfrac {1} {2} (\ pi – a) \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]

Answer 2

Terminando la respuesta de Anastasiya Romanova, tenemos dos pistas posibles para

[matemáticas] \ begin {align} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ sin an} {n} = – \ operatorname {Im} \ log (1-e ^ {ia}) \ end {align }[/matemáticas]

El primero es lo que creo que tenía en mente.

1. Factor exponencial complejo término:

Observa eso
[matemáticas] 1 – e ^ {ia} = e ^ {ia / 2} \ cdot (-2i) \ cdot \ left (\ frac {e ^ {ia / 2} -e ^ {- ia / 2}} { 2i} \ right). [/ Math]

El término entre paréntesis es [math] \ sin (a / 2) [/ math], que es real y positivo para el dominio dado. Tomando logaritmos complejos, tenemos

[matemáticas] \ begin {align} & – \ text {Im} \ log (1-e ^ {ia}) \\ & = – \ text {Im} (\ log (e ^ {ia / 2}) + \ log (e ^ {- i \ pi / 2}) + \ log (2) + \ log (\ sin (a / 2))) \\ & = – \ frac {a} {2} + \ frac {\ pi} {2}. \ end {align} [/ math]

Alternativamente, podemos usar algunas identidades trigonométricas más

2. Calcule el módulo y el ángulo:

[matemáticas] 1 – e ^ {ia} = 1 – \ cos (a) – i \ sin (a). [/ matemáticas]

Para [math] z = x + iy [/ math] podemos usar [math] \ operatorname {Log} (z) = \ log | z | + i \ arctan \ tfrac {y} {x}. [/ math]

Estamos tomando solo la parte imaginaria, así que solo necesitamos simplificar

[matemáticas] \ arctan \ left (\ tfrac {- \ sin (a)} {1- \ cos (a)} \ right). [/ math]

Aplicar algunas identidades trigonométricas (medio ángulo, desplazamiento, simetría)
[matemáticas] \ frac {- \ sin (a)} {1- \ cos (a)} = – \ cot (a / 2) = \ tan (a / 2 – \ pi / 2) [/ math]

Ahora tomando el arctangent da

[matemáticas] – \ operatorname {Im} (\ log (1-e ^ {ia})) = – \ arctan (\ tan (a / 2 – \ pi / 2)) = \ frac {\ pi – a} { 2}. [/ Matemáticas]

Editar: Al conectar un valor especial de [math] a = \ pi [/ math] usando la fórmula de Anastasia, obtenemos una expansión familiar para [math] \ log (2) [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ sin (n \ pi)} {n} & = – \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {( -1) ^ {n-1}} {n} = – (1 – \ tfrac {1} {2} + \ tfrac {1} {3} + \ ldots) \\ & = – \ operatorname {Im} \ log (1 – e ^ {i \ pi}) = – \ log (2). \ end {align *} [/ math]

Answer 3

Aquí hay otra forma de resumir esta serie. Definamos

[matemáticas] \ displaystyle I (a) = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (an)} {n}, [/ math]

y reescribe el summand en términos de la función [math] \ mathrm {sinc} [/ math], a saber.

[matemáticas] \ begin {align} I & = a \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ mathrm {sinc} (an) \ nonumber \\ & = \ frac {a} {2} \ left \ {\ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {sinc} (an) -1 \ right \}. \ end {align} [/ math]

El último paso resulta de la simetría de la función [math] \ mathrm {sinc} [/ math]. También he usado el hecho de que [math] \ mathrm {sinc} (0) = 1 [/ math]. Ahora, usamos una representación integral bien conocida de esta función (vea la ecuación (17) aquí)

[matemáticas] \ displaystyle \ mathrm {sinc} (an) = \ int _ {- a} ^ {a} \ frac {\ mathrm {d} x} {2a} ~ e ^ {inx}. [/ math]

Al conectar esto a nuestra suma anterior, se obtiene

[matemáticas] \ begin {align} I & = \ frac {a} {2} \ left \ {\ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- a} ^ a \ frac {\ mathrm { d} x} {2a} ~ e ^ {inx} -1 \ right \} \ nonumber \\ & = \ int _ {- a} ^ a \ frac {\ mathrm {d} x} {4} \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {inx} – \ frac {a} {2} \ nonumber \\ & = \ frac {\ pi} {2} \ int _ {- a} ^ a \! \ ! \! \ mathrm {d} x ~ \ delta (x) – \ frac {a} {2} \ nonumber \\ & = \ frac {\ pi-a} {2}, \ end {align} [/ math ]

donde usamos la conocida representación en serie de la función delta de Dirac para sumar las series infinitas de exponenciales complejos.

Salud !

Answer 4

Insinuación:

Usando la fórmula de Euler, uno puede obtener

[matemáticas] \ begin {align} e ^ {ian} = \ cos an + i \ sin an \ end {align} [/ math]

Por lo tanto

[matemáticas] \ begin {align} \ frac {\ sin an} {n} = \ operatorname {Im} \ left (\ frac {e ^ {ian}} {n} \ right) \ end {align} [/ math ]

Implica

[matemáticas] \ begin {align} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {\ sin an} {n} & = \ operatorname {Im} \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {e ^ {ian}} {n} \\ & = – \ operatorname {Im} \ log (1-e ^ {ia}) \ end {align} [/ math]

A partir de aquí, se puede usar un análisis complejo para el logaritmo.

Answer 5

Seamos hábiles al respecto:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sin (a \ cdot 0)} {0} + \ frac {\ sin (a \ cdot 1)} {1} + \ frac {\ sin (a \ cdot 2)} { 2} + \ cdots = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ frac {\ sin (a \ cdot 0)} {0} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ lim_ {n \ a 0} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac { \ sin (a \ cdot n)} {n} – \ lim_ {n \ to 0} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} \ tag {1} [/ math]

Ahora, tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ a 0} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} = a \ tag {2} [/ matemáticas]

por la regla de L’Hôpital

y

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (ax)} {x} dx + \ frac {1} {2} \ lim_ {n \ a 0} \ frac {\ sin (an)} {n} + i \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} \ frac {\ frac {\ sin (ait)} {it} – \ frac {\ sin (-ait)} {-it}} {e ^ {2 \ pi t} – 1} dt \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ pi} {2} + \ frac {a} {2} +0 \ tag {3} [/ matemáticas]

por la fórmula de Abel – Plana, [matemática] \ displaystyle \ int \ limits_ {0} ^ {\ infty} {\ sin (ax) \ over x} dx = \ frac {\ pi} {2} \ operatorname {sgn} ( a) = \ frac {\ pi} {2} [/ math] para [math] a> 0 [/ math] (resultado de cálculo estándar), [math] (2) [/ math] y [math] \ sin ( – \ alpha) = – \ sin (\ alpha) [/ math] (trigonometría básica); donde [math] \ operatorname {sgn} (\ alpha) [/ math] es la función Sign.

Finalmente, inserte los valores de [math] (3) [/ math] y [math] (2) [/ math] en [math] (1) [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (a \ cdot n)} {n} = \ frac {\ pi} {2} + \ frac {a} {2 } +0 – a = \ frac {\ pi} {2} – \ frac {a} {2} = \ frac {1} {2} (\ pi -a). [/ Math]

Answer 6

Presentaré 2 enfoques. El primero funciona mejor si aún no conocemos la suma y nos ayuda a encontrarla. El otro es más corto, pero requiere que sepamos la respuesta.

El primer enfoque: el núcleo Dirichlet.

Deje [math] S_n (a) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {\ sin (na)} {n} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow S_n (0) = 0 \ Rightarrow S_n (a) = \ displaystyle \ int_0 ^ a S_n ‘[/ math] [math] (t) dt [/ math]

Ahora [matemáticas] S_n ‘(a) = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ n \ cos (na) = \ frac {1} {2} D_n (a) – \ frac {1} {2} [/ matemáticas]

Aquí [math] D_n (a) = \ frac {\ sin ((n + \ frac {1} {2}) a)} {\ sin (\ frac {a} {2})} [/ math] es un pozo -conocido núcleo Dirichlet. Sabemos que [matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_0 ^ a D_n (t) dt = \ pi \ Rightarrow \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} S_n (a) = \ frac { 1} {2} (\ pi-a), a \ in (0; \ pi] [/ math]

[matemáticas] a \ in (\ pi; 2 \ pi] \ Rightarrow S (a) = S (2 \ pi- (2 \ pi-a)) = -S (2 \ pi-a) = \ frac {1 } {2} (\ pi-a) [/ math]

El segundo enfoque: hacer series de Fourier para la respuesta.

Tome [math] g (x) = \ pi -x, x \ in (0; \ pi] [/ math] y hágalo extraño. La serie será:

[matemáticas] A_n = 0 [/ matemáticas] (ya que g (x) es impar)

[matemáticas] B_n = \ frac {2} {\ pi} \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi (\ pi-x) \ sin (nx) dx = [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ left | \ begin {array} {ll} u = \ pi-x & dv = \ sin (nx) dx \\ du = -dx & v = \ frac {\ cos (nx)} {n } \ end {array} \ right | = \ frac {2} {\ pi} \ left (\ left. \ frac {(\ pi-x) \ cos (nx)} {n} \ right | _0 ^ \ pi + \ displaystyle \ int_0 ^ \ pi \ cos (nx) dx \ right) = \ frac {2} {\ pi} \ frac {\ pi} {n} = \ frac {2} {n} [/ math]

Así [matemáticas] \ pi -x = \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} B_n \ sin (nx) \ Rightarrow \ displaystyle \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {\ sin (an)} {n} = \ frac {1} {2} (\ pi -x) [/ math]