Si f (x) yg (x) son polinomios de grado 5 en x, ¿se deduce que f (x) + g (x) tiene grado 5?

No necesariamente.

De ello se deduce que [matemáticas] f (x) + g (x) [/ matemáticas] tiene un grado no mayor que [matemáticas] 5 [/ matemáticas], porque no puede generar un término de grado seis o superior agregando términos de arriba hasta el grado cinco: la adición conserva el grado máximo, excepto en un caso específico que será nuestra excepción crucial.

Sin embargo, el grado de [matemáticas] f (x) + g (x) [/ matemáticas] podría ser menor que [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Esto puede ocurrir si los coeficientes de [matemática] x ^ 5 [/ matemática] en [matemática] f (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) [/ matemática] son ​​iguales en magnitud y opuestos en signo, porque entonces el coeficiente de [matemática] x ^ 5 [/ matemática] en [matemática] f (x) + g (x) [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática], entonces no hay [matemática] x ^ 5 [/ matemática] término y [matemática] f (x) + g (x) [/ matemática] tiene un grado como máximo cuatro.

Tenga en cuenta que puede ocurrir algo similar, por supuesto, con los términos en [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas], y quizás [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas], etc. , de modo que [matemáticas] f (x) + g (x) [/ math] podría tener cualquier grado menor que [math] 5 [/ math], incluso un grado [math] 0 [/ math]. Un ejemplo extremo aquí es cuando [math] g (x) = -f (x) [/ math], de modo que [math] f (x) + g (x) = 0 [/ math].

No.

Para cualquier polinomio de orden 5, puede expresarlo en la forma ax ^ 5 + p (x) donde p es un polinomio de orden 4 o menos.

Si f (x) puede expresarse como ax ^ 5 + p (x) entonces, entonces si g (x) es un polinomio de la forma -ax ^ 5 + q (x), y p y q son polinomios de orden 4 o menos, entonces f (x) + g (x) = p (x) + q (x)

Como p y q son de orden 4 o menos, la suma de f y g no es de orden 5 si el primer término de g es negativo del primer término de f.

¡Solo piense en ejemplos reales!

¡Se hace evidente muy rápidamente que si sumamos f (x) a g (x) no podemos aumentar ninguno de los índices!

El mayor poder sigue siendo 5.

¡Pero esta no es la historia completa! ¡Puedes reducir poderes en casos como los siguientes!

que ahora solo tiene grado 3.

Sin embargo, si multiplica f (x) yg (x), aumentará el grado.

No, no sigue, te daré un contraejemplo,

Digamos que su f (x) es [matemática] x ^ 5 + ax + b [/ matemática] y su g (x) es [matemática] – x ^ 5 + cx + d [/ matemática]. Si agrega ambos, su polinomio es [math] (a + c) x + b + d [/ math], que por supuesto no es un polinomio de grado 5. Y puede haber muchos ejemplos como este. Por lo tanto, no se deduce que si f y g son polinomios de cierto grado, la suma es un polinomio del mismo grado.

* A2A

Realmente no recuerdo los conceptos básicos que me llevan a este nivel. Entonces, cuando recibo preguntas como esta, lo que puedo hacer es jugar con la pregunta y ver qué puedo obtener. Vamos a divertirnos 🙂

Dejame poner

[matemáticas] f (x) = x ^ 5 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

Sin ninguna razón específica, acabo de elegir la función del VIBGYOR, ahora vamos, no siempre tiene que ser azul, ¿verdad?

[matemáticas] g (x) = f (-x) = – x ^ 5 + x ^ 4-x ^ 3 + x ^ 2-x + 1 \ tag * {} [/ matemáticas]

Solo estoy jugando con la regla de signos de Descartes aquí. Alguien se dio cuenta? Más probable…

Y para la llamada de la cortina …

[matemáticas] f (x) + g (x) = 2 (x ^ 4 + x ^ 2 + 1) \ tag * {} [/ matemáticas]

Esto no tiene un grado de [matemáticas] 5 [/ matemáticas], lo que nos dice que …

La suma de dos polinomios de [matemática] 5 ^ {\ text {th}} [/ matemática] no necesita tener un grado de [matemática] 5 [/ matemática]. De hecho, tendrá un grado no mayor a [matemática] 5 [/ matemática]. La respuesta de Dave Clark dice lo mismo.

Extienda la instrucción para el orden [math] n ^ \ text {th} [/ math] si lo desea.

No siempre. No cuando los coeficientes de los términos de la quinta potencia suman cero.

Simplemente agregas poderes similares juntos.

Entonces, si tiene dos polinomios f y g:

[matemáticas] f (x) = ax ^ 5 + bx ^ 4 + cx ^ 3 + dx ^ 2 + ex + f [/ matemáticas],

[matemáticas] g (x) = rx ^ 5 + sx ^ 4 + tx ^ 3 + ux ^ 2 + vx + w [/ matemáticas],

entonces obtienes:

[matemáticas] f (x) + g (x) = (a + r) x ^ 5 + (b + s) x ^ 4 +… + (f + w) [/ matemáticas]

Si [math] a = -r [/ math], los términos [math] ax ^ 5 [/ math] y [math] rx ^ 5 [/ math] se cancelarán, porque el coeficiente resultante [math] a + r [/ math] será cero.

De hecho, el resultado podría ser 0, si [math] f (x) = – g (x) [/ math]!

Editar:

Olvidé dar cuenta del caso en el que se cancelan las quintas potencias. Enmendado

No necesariamente, pueden ser polinomios de menor grado, si los miembros de quinto grado (o de hecho cualquier otro miembro) de f (x) yf (x) tienen coeficientes opuestos, por lo que se cancelan entre sí.

Afirmo que la respuesta es no y solo necesito un ejemplo para mostrar eso. Sea [math] g (x) = – f (x) [/ math]. Entonces [matemáticas] f (x) + g (x) = 0. [/ Matemáticas]

No. Si f (x) = x ^ 5 y g (x) = -x ^ 5, entonces la suma es (f + g) (x) = 0, que NO es 5º grado.