A lo largo del álgebra lineal, usualmente hacemos malabares con dos tipos de objetos: espacios vectoriales y campos.
Los espacios vectoriales son el principal objeto de estudio. Los campos proporcionan los “escalares”, los números por los cuales podemos multiplicar vectores. En muchas escuelas y colegios, un primer curso de álgebra lineal solo permite los campos de números reales y números complejos; Los cursos más avanzados generalmente permiten cualquier campo.
Debido a que tenemos estos dos tipos de objetos, podemos considerar varios tipos de funciones:
- Funciones de espacios vectoriales a espacios vectoriales
- Funciones de espacios vectoriales a campos
- Funciones de campos a espacios vectoriales.
- Funciones de campos a campos.
En álgebra lineal, solo 1 y 2 importan. Las funciones de tipo 1 son necesarias para preservar la estructura del espacio vectorial, y se denominan transformaciones lineales . Son, con mucho, el tipo de función más importante que estudias en álgebra lineal, y son fundamentales en todas las matemáticas. Los diferenciales, las rotaciones espaciales, los hamiltonianos, las transformadas de Fourier y un millón de otras cosas son transformaciones lineales.
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Las funciones de tipo 2 son siempre desde un espacio vectorial hasta el mismo campo sobre el que se define, y también son necesarias para preservar sumas y productos escalares. Se llaman funcionales lineales y también son bastante importantes.
Las funciones de tipo 3 no surgen naturalmente, porque los espacios vectoriales no pueden soportar todas las operaciones de un campo.
Las funciones de tipo 4 son muy importantes, pero se consideran parte de la teoría de campo , no álgebra lineal.