¿Qué es [math] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin (x)} {x} \, \ mathrm dx [/ math]?

Answer 1

En realidad, este problema de integración tiene una solución de forma cerrada en términos de una función especial.

Cabe señalar que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ sin (x)} {x} = \ text {sinc} (x) [/ math]

donde [math] \ text {sinc} (x) [/ math] es la función Sinc.

La integral dada tiene la solución:

[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ int \ frac {\ sin (x)} {x} \, dx = \ int \ text {sinc} (x) \, dx = \ text {Si} (x) + c }[/matemáticas]

[math] \ text {Si} (x) [/ math] es una integral trigonométrica llamada Integral Seno.

Aquí hay una gráfica de la función integral seno (hecha con Mathematica):

En función de las propiedades y relaciones que involucran la función integral seno, la integral dada también se puede expresar de las siguientes maneras:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin (x)} {x} \, dx = x \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2 k }} {(2 k + 1) ^ 2 (2 k)!} + Constante [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin (x)} {x} \, dx = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2 k + 1}} {(2 k + 1) (2 k + 1)!} + Constante [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin (x)} {x} \, dx = \ pi \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} J_ {k + \ frac {1} {2}} \ left (\ frac {x} {2} \ right) {} ^ 2 + constante [/ math]

donde [math] J_n (z) [/ math] es la función Bessel del primer tipo.

Otro ejemplo de una integral cuya solución es igual a una función integral trigonométrica es la siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ cos (x)} {x} \, dx = \ text {Ci} (x) + constante [/ matemáticas]

donde [math] \ text {Ci} (x) [/ math] es la función integral del coseno.

Para obtener más información y resultados sobre la función sinc, consulte esta publicación de mi sitio web / blog:

Algunos resultados de cálculo relacionados con la función sinc

Answer 2

Esto es válido si x no es igual a cero porque no se permite la división por cero. Entonces, en caso de integración definitiva, uno debe asegurarse de que 0 no se encuentre entre los límites de la integración. En el caso de que 0 se encuentre entre los límites, la pregunta en sí misma se equivoca por razones obvias. Entonces puedes culpar pacíficamente al interrogador.

Answer 3

Use la serie taylor de sin (x) para expandir la función en una aproximación polinómica de la función a término infinito, dividir esta expresión completa por x, y luego la integración de la regla de potencia inversa es trivial.

No puede obtener una respuesta elemental, de término finito, por lo que simplemente llamamos a esta aproximación Si (x), también conocida como Integral Seno.

Answer 4

Esta integral no puede evaluarse en términos de funciones elementales. Entonces, lo que podría hacer es usar la serie de Maclauren para sinx, dividirla por x y luego integrarla. Si tuviera una integral definida, también podría usar un método numérico como la regla de ordenadas intermedias para aproximar el valor de la integral.

Answer 5

Agregaré mi ignorancia para proporcionar un poco de perspectiva. Esta integral es “uno de esos”. No hay respuesta. Entonces, las personas con funciones especiales son completamente correctas al inventar una respuesta. Esta integral es lo suficientemente interesante como para garantizar una “atención especial”.

Retrocedamos un poco.

¿Cuál es la integral de 1 / x? (Sé tonto por un momento.) La cuestión es que esta integral es una picazón realmente desagradable. Tanto es así, una función (que obviamente existe) necesitaba un nombre y resulta que tiene algunas propiedades muy útiles. En x. (Si me ha leído en otro lugar, sabe que soy un gran admirador de la notación / lenguaje. Tan a menudo darse cuenta de que necesita nombrar algo y / o encontrar una buena taquigrafía / notación es tan momentáneo como el concepto que describe En el caso de la notación dy / dx de Leibniz en oposición a la D_x de Newton … ¿En serio? La brillantez de Newton es casi inútil sin la notación de Leibniz).

sen x / x también es una picazón y la función especial que la gente aprovechó para la ocasión. El único problema es que declarar Si (x) como la respuesta (compárelo con declarar ln x la respuesta a 1 / x) no hace que su motor se acelere tanto. En serio: ¿alguna vez has oído hablar de Si (x)? Si Si fuera tan importante, ¿no estaría en eso en ese enorme libro de cálculo?

Si (x) es totalmente válido y ha sido estudiado. Desafortunadamente (y lo digo en serio), simplemente no es sexy. En x es sexy. Soluciona toneladas de problemas del mundo real y proporciona información a mucha teoría. ¡En x está CALIENTE! Si (x) es … interesante.

He señalado a mis clases de álgebra abstracta que la solución para x ^ n -a = 0 es TAN importante, tan necesaria para referirse, que tenemos una notación para ello. (El símbolo raíz: ¿dónde diablos está en Quora?) Si la raíz (s) de x ^ n + x -a = 0 fuera críticamente importante, también tendríamos un símbolo para eso.

Lo mismo puede decirse de Si (x). No es lo suficientemente importante como para tener un lugar destacado en el léxico matemático, pero es lo suficientemente interesante y, como tal, recibe un nombre.

Answer 6

Bueno, esto no se puede integrar directamente con ninguna de las fórmulas disponibles. Ninguna sustitución o integración por partes puede resolver el problema a menos que se definan los límites de integración. Hay otra solución que puede encontrar su integración por aproximación usando la serie Taylor.

Antiderivada aproximada del pecado (x) / x

La expansión de la serie Taylor del pecado (x) es
sin (x) = x – (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! – (x ^ 7) / 7! + …
Si dividimos esto por x, podemos obtener una expansión de la serie de potencias para sin (x) / x:
sin (x) / x = 1 – (x ^ 2) / 3! + (x ^ 4) / 5! – (x ^ 6) / 7! +…
La integración de cada término de la serie le brinda una serie infinita para la integral de sin (x) / x:
∫ sen (x) / x dx = x – (x ^ 3) / (3 * 3!) + (X ^ 5) / (5 *!) – (x ^ 7) / (7 * 7!) +… + C

Fuente: http: //calculus-geometry.hubpage …

Answer 7

Con la ayuda de la relación de Parsavel para la energía, evaluaremos la integral

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x ^ 2 (t) | dt $$

Con la ayuda de la relación de Parsavel

$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x ^ 2 (t) | dt = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X ^ 2 (\ omega) | d \ omega $$

$$ (A) rect (\ frac {t} {\ tau}) \ rightleftharpoons (A \ tau) sa (\ frac {\ omega \ tau} {2}) $$

$$ sa (\ frac {t \ tau} {2}) \ rightleftharpoons (\ frac {2 \ pi} {\ tau}) rect (\ frac {\ omega} {\ tau}) $$

$$ sa (t) \ rightleftharpoons (\ pi) rect (\ omega) $$

$$ E = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- 1} ^ {1} \ pi ^ 2 d \ omega $$

$$ E = \ pi $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} sa ^ 2 (t) dt = \ pi $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {sin ^ 2 (t)} {t ^ 2} dt = \ pi $$

$$ sin ^ 2 (t) = \ frac {1-cos (2t)} {2} & s = 2 & bg = ffffff $

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1 – cos (2t)} {2t ^ 2} dt = \ pi $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2t ^ 2} – \ frac {cos (2t)} {2t ^ 2} dt = \ pi $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {cos (2t)} {t ^ 2} dt = -2 \ pi $$

$$ cos (2t) = cos ^ 2 (t) – sin ^ 2 (t) $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {sin ^ 2 (t) – cos ^ 2 (t)} {t ^ 2} dt = 2 \ pi $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {cos ^ 2 (t))} {t ^ 2} dt = – \ pi $$

Algunas integrales definidas más interesantes deducidas por la ayuda del trabajo anterior

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {cos (2t)} {t ^ 2} = -2 \ pi $$

Ahora reemplace $$ t & s = 2 & bg = ffffff $ por $$ \ frac {t} {2} $$

$$ dt \ rightarrow \ frac {dt} {2} $$

$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {cos (t)} {t ^ 2} = – \ pi $$

Ahora aplique por técnicas de integración de piezas

$$ [\ frac {-cos (t)} {t}] – \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {sin (t)} {t} = – \ pi $$

$$ \ Rightarrow \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {sin (t)} {t} = \ pi $$

Answer 8

Este integrando [math] \ dfrac {\ sin {x}} {x} [/ math] a veces se conoce como la función sinc o seno cardinal . La integral indefinida no puede expresarse en funciones elementales, y de hecho hay una función especial definida para representar el resultado de precisamente esta integración:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ sin {x}} {x} \, \ mathrm dx = \ boxed {\ operatorname {Si} (x) + C} [/ math]

Esta es una de las cuatro funciones integrales trigonométricas convencionales: [math] \ operatorname {Si} (x) [/ math], [math] \ operatorname {Ci} (x) [/ math], [math] \ operatorname {Shi} (x) [/ math] y [math] \ operatorname {Chi} (x) [/ math].

Tenga en cuenta que la integral está perfectamente bien definida y se puede evaluar, simplemente no se puede escribir con funciones elementales. Si se requiere una integral definida particular, se pueden usar métodos numéricos para evaluarla. Hay dos valores particularmente notables / útiles de la integral:

[matemáticas] \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} \, \ mathrm dx = \ operatorname {Si} (\ infty) + \ operatorname {Si} (- \ infty) = \ pi [/ math] y [math] \ displaystyle \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sin {x}} {x} \, \ mathrm dx = \ operatorname {Si} ( \ infty) = \ frac {\ pi} {2} [/ math]

Estos casos particulares se pueden evaluar de muchas maneras diferentes. Para una forma que no se basa en ningún análisis complejo, vea la respuesta de Dave Clark a ¿Cómo probaría esto? [matemáticas] \ displaystyle \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {\ sin (t)} {t} \ mathrm {d} t = \ dfrac {\ pi} {2} [/ math]

Answer 9

No hay un resultado estándar en términos de funciones elementales estándar, pero la integral se puede representar como una suma infinita.

Recordemos la serie de Taylor para [math] \ sin x [/ math],

[matemáticas] \ sen x = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} [/ math]

Usando esto tenemos

[matemáticas] \ displaystyle [/ matemáticas] [matemáticas] \ int \ dfrac {\ sin x} {x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ dfrac {1} {x} \ cdot \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} \, Dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ int \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n}} {(2n + 1)!} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ dfrac {(- 1) ^ nx ^ {2n + 1}} {(2n + 1) (2n + 1)!} + C [ /matemáticas]

Answer 10

Sí, esta es una función, y es: [matemáticas] \ text {Si} (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ text {Si} (x) = \ displaystyle \ sum_k \ frac {(- 1) ^ kx ^ {2k + 1}} {(2k + 1) (2k + 1)!} [/ math]

Donde la suma está implícita de k es cero a infinito. La solución [matemáticas] \ int 1 / x \, \ sen x \, dx = \ text {Si} x + C [/ matemáticas] no debería ser una solución difícil de encontrar.

Answer 11

La ecuación es reconocible al instante para mí, porque la solución a [math] \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} \, dx [/ math] es que es una integral especial llamada una integral sinusoidal, representada por [math] \ mathrm {Si} \ left (x \ right) [/ math]. Por definición, [math] \ mathrm {Si} (x) [/ math] es la antiderivada de [math] \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} [/ math] que es cero para [ matemáticas] x = 0. [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin \ left (x \ right)} {x} dx = \ mathrm {Si} \ left (x \ right) + C [/ math]

Answer 12

ingrese su fórmula

sin (x) / x

en http://www.mathHandbook.com , haga clic en el botón de integración para la solución,

integrar sin (x) / x = si (x)

referencia en mathHandbook.com

Answer 13

Esto puede hacerse mediante una integración compleja. Sigue el link:
Integral de sin (x) / x

Answer 14

Amigo, no creo que esta integral sea analítica. Si estoy de acuerdo, puede usar la serie taylor para aproximar esta integral con un buen resultado. ¿Podría poner el resultado aquí después de terminar? Tengo curiosidad al respecto porque estudié cálculo hace 2 años.

Answer 15

la respuesta es pi