¿Cómo resuelvo la desigualdad [matemáticas] (x ^ 2 -2x-2) / (x ^ 2-8x-2) \ geq 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

* A2A

[matemáticas] \ begin {align} \ dfrac {x ^ 2-2x-2} {x ^ 2-8x-2} & \ ge0 \\\ dfrac {(x-1) ^ 2-3} {(x- 4) ^ 2-18} & \ ge0 \\\ text {Ceros:} x = 1 \ pm \ sqrt3 \\\ text {Discontinuidad:} x = 4 \ pm3 \ sqrt2 \\\ hline \ end {align} \ etiqueta * {} [/ math]

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• Ahora usaré el Método de Curva Ondulada para terminarlo 🙂
• Normalmente dibujo olas, pero a partir de ahora, usaré algo que he recogido de Bernard Blander, con mis propias modificaciones, por supuesto.
• Saluda a la hermosa Desmos

• Observe que la función tiene su pantalla apagada. Definí la función para fines de evaluación, no para trazar.
• Ahora solo recogeremos los intervalos que nos dieron valores positivos. ¿Cómo encontrarlos? Simple solo mira por encima del eje x 🙂

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Los intervalos que funcionan son [matemáticas] (- \ infty, 1- \ sqrt3] \ cup (4–3 \ sqrt2,1 + \ sqrt3] \ cup (4 + 3 \ sqrt2, \ infty) \ tag * {} [ /matemáticas]

Answer 2

Primero, consideremos si podemos factorizar las cuadráticas. Podemos encontrar bastante rápido que ninguno de los dos tiene factores enteros que pueden dividirse (cancelarse).

A continuación, consideremos qué haría que la expresión racional sea positiva versus negativa. Si el numerador es positivo y el denominador es positivo, la expresión es mayor que cero. Si el numerador es negativo y el denominador es negativo, la expresión es mayor que cero. Si el numerador y el denominador tienen signos diferentes, la expresión es negativa.

Si el numerador es cero, la expresión es cero. Si el denominador es cero, tenemos un punto no válido en la función.

Entonces la función es verdadera si el numerador y el denominador tienen el mismo signo, o si el numerador es cero.

Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar cuáles son los puntos críticos. Estos puntos son las raíces de las ecuaciones cuadráticas. Las raíces del numerador son 1 + raíz cuadrada 3 y 1 – raíz cuadrada 3. Es decir, el numerador es positivo para x valores menores que 1 – raíz cuadrada 3 (~ -0.73) y para x mayor que 1 + raíz cuadrada 3 (~ +2.73). Las raíces del denominador son 4 + raíz cuadrada 18 (~ 8.2) y 4 – raíz cuadrada 18 (~ -0.2). El denominador es positivo para x menor que 4 – raíz cuadrada 18, y para x mayor que 4 + raíz cuadrada 18.

La expresión racional es positiva cuando x es menos 1 – raíz cuadrada 3. Ese punto exacto es verdadero. Entonces el numerador se vuelve negativo y la expresión es negativa hasta x = 4 – raíz cuadrada 18. (Ese punto exacto no es válido y tiene asíntotas verticales). La expresión es positiva hasta x = 1 + raíz cuadrada 3 donde va a cero. Después de eso, la expresión es negativa hasta x = 4 + raíz cuadrada 18 (un punto no válido donde existen asíntotas verticales); después de eso la expresión se mantiene positiva.

Ponga cuidadosamente la expresión racional en Desmos | Beautiful, Free Math y deberías ver el patrón descrito.

Todo esto requiere varias habilidades: trabajar con cuadrática; encontrar raíces de las cuadráticas; reconocer cuadráticas factorizables versus no factorizables; comprensión de puntos críticos; comprender la gráfica de las cuadráticas; comprender la gráfica de una expresión racional con puntos críticos; ser capaz de interpretar las asíntotas como ceros de un denominador.

Answer 3

La parte superior es 0 en [math] 1 \ pm \ sqrt {3} [/ math]. Por lo tanto, la parte superior es mayor o igual a 0 para [matemática] x \ geq 1 + \ sqrt {3} [/ matemática] y [matemática] x \ leq 1- \ sqrt {3} [/ matemática] (porque la parábola tiene un coeficiente principal positivo) y negativo de lo contrario.

Del mismo modo, la parte inferior es 0 en [matemáticas] 4 \ pm 3 \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Debido a que el coeficiente inicial también es positivo, la parte inferior es positiva cuando [math] x> 4 + 3 \ sqrt {2} [/ math] y cuando [math] x <4 - 3 \ sqrt {2} [/ math]. La relación no está definida exactamente en esas raíces, y entre ellas, el fondo es negativo.

Para que la fracción tome un valor no negativo, necesitamos que la parte superior e inferior tengan el mismo signo. Para que ambos sean positivos, necesitamos [math] x \ in (- \ infty, 4 – 3 \ sqrt {2}) \ cup (4 + 3 \ sqrt {2}, \ infty) [/ math]; tenga en cuenta que esta es la intersección de los intervalos para los cuales el numerador y el denominador son positivos. Para que ambos sean negativos, necesitamos [matemáticas] x \ in (1- \ sqrt {3}, 1+ \ sqrt {3}) [/ matemáticas]; de nuevo, este intervalo es solo la intersección de los intervalos en los que ambos son negativos.

Entonces, para resumir, necesitamos [matemáticas] x \ in (- \ infty, 4 – 3 \ sqrt {2}) \ cup (4 + 3 \ sqrt {2}, \ infty) \ cup (1- \ sqrt {3}, 1+ \ sqrt {3}) [/ math].