Podemos reescribir esta expresión como
[matemáticas] \ frac {a} {b} + \ frac {b} {c} + \ frac {c} {d} + \ frac {d} {a} [/ matemáticas]
Digamos, para hacernos la vida más fácil, que
[matemáticas] \ frac {a} {b} = w [/ matemáticas]
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[matemáticas] \ frac {b} {c} = x [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {c} {d} = y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {a} = z [/ matemáticas]
Una propiedad que podemos usar que es muy útil es que [math] wxyz = 1 [/ math]
Ahora podemos usar la desigualdad AM-GM, que nos dice que la media aritmética de un conjunto de números reales no negativos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto (http://artofproblemsolving.com/w…) . Como [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son naturales, se deduce que [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática], [matemática] \ frac {b} {c} [/ matemática], [matemática] \ frac {c} {d} [/ matemática] y [matemática] \ frac {d} {a } [/ math] son todos los reales no negativos (y racionales para arrancar).
Por la desigualdad AM-GM, tenemos que
[matemáticas] \ frac {w + x + y + z} {4} ≥ \ sqrt [4] {wxyz} [/ matemáticas]
dándonos, después de sustituir [matemáticas] wxyz = 1 [/ matemáticas],
[matemáticas] \ frac {w + x + y + z} {4} ≥1 [/ matemáticas]
[matemática] \ Flecha derecha w + x + y + z≥4 [/ matemática]
[matemáticas] \ Rightarrow \ frac {a} {b} + \ frac {b} {c} + \ frac {c} {d} + \ frac {d} {a} ≥4 [/ matemáticas]
y entonces el valor mínimo es [math] 4 [/ math].
EDITAR: Como Charis Georgiou y James Tiroli han señalado correctamente, la igualdad para AM-GM solo ocurre cuando todos los números en el conjunto son iguales; o en otras palabras
[matemáticas] \ frac {a} {b} = \ frac {b} {c} = \ frac {c} {d} = \ frac {d} {a} = 1 [/ matemáticas]
Esto implica [matemáticas] a = b = c = d [/ matemáticas], pero como la pregunta establece que son distintas, esto no es posible. [matemáticas] 4 [/ matemáticas] sigue siendo un mínimo, pero no se puede lograr; podemos acercarnos arbitrariamente a [math] 4 [/ math] como queramos, pero la expresión nunca será igual a [math] 4 [/ math].