¿Cómo integraría [math] \ displaystyle \ int \ sqrt {\ frac {1- \ sqrt x} {1+ \ sqrt x}} dx \ space [/ math]?

Answer 1

* Gracias por A2A.

Dado, [math] \ int \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt (x)} {1+ \ sqrt (x)}} \ [/ math] [math] dx [/ math].

Simplemente sustituya, [matemáticas] x [/ matemáticas] = [matemáticas] \ cos ^ {2} 2A [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] dx [/ math] = [math] -4 \ sin 2A \ cos 2A \ dA [/ math]

[matemáticas] \ int \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt (x)} {1+ \ sqrt (x)}} \ dx [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 4 \ displaystyle \ int \ sqrt {\ frac {1- \ cos (2A)} {1+ \ cos (2A)}} \ cdot \ cos (2A) \ sin (2A) \ dA [/ matemáticas]

[matemáticas] = – 4 \ displaystyle \ int \ tan (A) \ cdot 2 \ sin (A) \ cos (A) \ cos (2A) \ dA [/ math]

[matemáticas] = – 4 \ int 2 \ sin ^ {2} (A) (2 \ cos ^ {2} (A) -1) \ dA [/ matemáticas]

[matemáticas] = 16 \ int {\ sin ^ {2} (A) \ cos ^ {2} (A)} \ dA-8 \ int \ sin ^ {2} (A) \ dA [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 \ int \ sin ^ {2} (2A) \ dA-2A + \ sin (2A) + \ text {constante c}. [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ int ({1- \ cos (4A)}) \ dA-2A + \ sin (2A) + \ text {constante c}. [/ matemática]

[math] = A- \ dfrac {\ sin (4A)} {4} -2A + \ sin (2A) + \ text {constante c}. [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {\ sin (4A)} {4} + \ sin (2A) -A + \ text {constante c}. [/ matemática]

[matemáticas] \ boxed {\ int \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt (x)} {1+ \ sqrt (x)}} dx = – \ dfrac {\ cos ^ {- 1} {\ sqrt x} } {2} + \ sqrt (1-x) – \ dfrac {\ sqrt {x (1-x)}} {2} + \ text {constante c}.} [/ Math]

Es de destacar que [matemáticas] \ dfrac {1- \ cos (2A)} {1+ \ cos (2A)} = \ tan ^ {2} A [/ matemáticas] y [matemáticas] \ [/ matemáticas] [matemáticas ] cos [/ math] [math] (2A) = (2 \ cos ^ {2} (A) -1) [/ math] mediante la fórmula de ángulos múltiples con respecto a las relaciones trigonométricas.

Answer 2

A2A’ed por Mustafa Hasan Khan

Nada muy elegante …

[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ int \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt {x}} {1+ \ sqrt {x}}} \, dx & = \ int \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt {x}} {1+ \ sqrt {x}}} \ times \ sqrt {\ dfrac {1- \ sqrt {x}} {1- \ sqrt {x}}} \, dx \\ & = \ int \ dfrac {1- \ sqrt {x}} {\ sqrt {1-x}} \, dx \\\ text {Solo sustituto} x = \ sin ^ 2t \\\ implica dx = 2 \ sin t \ cos t dt \\ & = 2 \ int \ dfrac {(1- \ sin t)} {\ sqrt {1- \ sin ^ 2t}} \ sin t \ cos t \, dt \\ & = 2 \ int \ dfrac {(1- \ sin t)} {\ cos t} \ sin t \ cos t \, dt \\ & = 2 \ int (1- \ sin t) \ sin t \, dt \\ & = 2 \ int \ sin t \, dt-2 \ int \ sin ^ 2t \, dt \\ & = 2 \ int \ sin t \, dt- \ int (1- \ cos 2t) \, dt \\ & = 2 \ int \ sin t \, dt- \ int \, dt + \ int \ cos 2t \, dt \\ & = – 2 \ cos t-t + \ dfrac {\ sin 2t} {2} + C \\ & = -2 \ sqrt {1-x} – \ sin ^ {- 1} \ sqrt {x} + \ sqrt {x (1-x)} + C \\ & = – 2 \ sqrt {1-x} + \ dfrac \ pi2- \ sin ^ {- 1} \ sqrt x + \ sqrt x \ sqrt {1-x} + \ left (C- \ dfrac \ pi2 \ right) \\ & = – 2 \ sqrt {1-x} + \ cos ^ {- 1} \ sqrt x + \ sqrt x \ sqrt {1-x} + C_1 \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]

¡Viola!

Answer 3

Déjame intentarlo de manera diferente

Deje [math] I = \ int \ sqrt {\ frac {1 – \ sqrt {x}} {1 + \ sqrt {x}}} dx \, \, \, \, ——— (1) [/ math ]

Suponga que [matemáticas] y = \ sqrt {\ frac {1 – \ sqrt {x}} {1 + \ sqrt {x}}} \, \, \, \, ——— (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 = \ frac {1 – \ sqrt {x}} {1 + \ sqrt {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (1 + \ sqrt {x}) y ^ 2 = 1 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 + \ sqrt {x} y ^ 2 = 1 – \ sqrt {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y ^ 2 – 1 = – \ sqrt {x} – \ sqrt {x} y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 – y ^ 2 = \ sqrt {x} + \ sqrt {x} y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ sqrt {x} = \ frac {1 – y ^ 2} {1 + y ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = (\ frac {1 – y ^ 2} {1 + y ^ 2}) ^ 2 \, \, \, \, ——— (3) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica dx = 2 \ frac {1 – y ^ 2} {1 + y ^ 2} (\ frac {-2y} {1 + y ^ 2} – \ frac {2y (1 – y ^ 2) } {(1 + y ^ 2) ^ 2}) dy [/ math]

[matemáticas] = 2 \ frac {y ^ 2 – 1} {1 + y ^ 2} (\ frac {2y (1 + y ^ 2) + 2y (1 – y ^ 2)} {(1 + y ^ 2 ) ^ 2}) dy [/ math]

[matemáticas] = 2 \ frac {y ^ 2 – 1} {1 + y ^ 2} (\ frac {2y + 2y ^ 3 + 2y – 2y ^ 3} {(1 + y ^ 2) ^ 2}) dy [/matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ frac {y ^ 2 – 1} {1 + y ^ 2} (\ frac {4y} {(1 + y ^ 2) ^ 2}) dy [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {8y (y ^ 2 – 1)} {(1 + y ^ 2) ^ 3} dy \, \, \, \, ——— (4) [/ matemáticas]

Entonces, sustituyendo nuevos valores en [math] I [/ math], tenemos,

[matemáticas] I = \ int \ frac {8y ^ 2 (y ^ 2 – 1)} {(1 + y ^ 2) ^ 3} dy \, \, \, \, ——— (5) [/ matemáticas ]

Deje [math] y = \ tan (z) \, \, \, \, ——— (6) [/ math]

[matemática] \ implica z = \ arctan (y) \, \, \, \, ——— (7) [/ matemática]

[matemáticas] \ implica dy = \ sec ^ 2 (z) dz \, \, \, \, ——— (8) [/ matemáticas]

Ahora aplicando los valores obtenidos en las ecuaciones [matemáticas] (6) [/ matemáticas] y [matemáticas] (8) [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] (5) [/ matemáticas], tenemos,

[matemáticas] I = \ int \ frac {8 \ tan ^ 2 (z) (\ tan ^ 2 (z) – 1)} {(1 + \ tan ^ 2 (z)) ^ 3} \ sec ^ 2 ( z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {8 \ tan ^ 2 (z) (\ tan ^ 2 (z) – 1) \ sec ^ 2 (z)} {\ sec ^ 6 (z)} dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {8 \ tan ^ 2 (z) (\ tan ^ 2 (z) – 1)} {\ sec ^ 4 (z)} dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int \ frac {8 \ sin ^ 2 (z) (\ sin ^ 2 (z) – \ cos ^ 2 (z)) \ cos ^ 4 (z)} {\ cos ^ 4 (z) } dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int – 8 \ sin ^ 2 (z) \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int – 4 (2 \ sin ^ 2 (z) – 1 + 1) \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int – 4 (1 – \ cos (2z)) \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int 4 \ cos ^ 2 (2z) dz – \ int 4 \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int 2 (2 \ cos ^ 2 (2z) – 1 + 1) dz – \ int 4 \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int 2 \ cos (4z) dz + \ int 2dz – \ int 4 \ cos (2z) dz [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sin (4z) + 2z – 2 \ sin (2z) + C [/ matemáticas]

Sustituyendo [math] z [/ math] en términos de [math] y [/ math], obtenemos,

[matemáticas] I = \ frac {1} {2} \ sin (4 \ arctan (y)) + 2 \ arctan (y) – 2 \ sin (2 \ arctan (y)) + C [/ matemáticas]

Ahora, sustituyendo y en términos de [math] z [/ math], obtenemos,

[matemáticas] I = \ frac {1} {2} \ sin (4 \ arctan (\ sqrt {\ frac {1 – \ sqrt {x}} {1 + \ sqrt {x}}})) + 2 \ arctan (\ sqrt {\ frac {1 – \ sqrt {x}} {1 + \ sqrt {x}}}) – 2 \ sin (2 \ arctan (\ sqrt {\ frac {1 – \ sqrt {x}} { 1 + \ sqrt {x}}})) + C [/ math]