Tal como está la pregunta, no puedes, porque no es cierto. Por ejemplo, considere el polinomio de grado impar
[matemáticas] p (x) = x ^ 3 – 2, x \ in \ mathbb {Q} [/ matemáticas]
que no tiene raíces, ya que la raíz cúbica de 2 es irracional.
Lo que es cierto es que cualquier polinomio de valor impar de valor real tiene al menos 1 raíz real.
- Cómo factorizar (x ^ 3 + 8)
- ¿2 + 2 = 4 porque lo hace o porque algún tipo lo dijo?
- ¿Cuál es el valor máximo de f (x)? F (x) = senx + cosx donde 0 <x <180
- ¿Cuál es el dominio y el rango de 1/1-x ^ 2?
- Si [math] f: A \ to B [/ math], [math] g: B \ to C [/ math] y [math] g \ circ f [/ math] es invertible, entonces, ¿cómo demuestro que [math] ] g [/ math] está en y [math] f [/ math] es one-one?
Esta es una consecuencia del Teorema del valor intermedio, que en sí mismo es una consecuencia de la integridad de los números reales, que se puede afirmar rigurosamente al decir que cada conjunto de números reales delimitados anteriormente tiene un supremum.
La prueba de la IVT es más una consecuencia de definiciones bien elegidas de lo que es un número real. Para entrar en eso, recomiendo mirar el Cálculo de Spivak, que es mi recurso favorito de Análisis 1, y tiene un capítulo fascinante llamado Tres Teoremas difíciles que cubren estas sutilezas.
Con esos comentarios fundamentales fuera del camino, siguen los argumentos en las otras respuestas.
- Demuestre que cuando [matemáticas] | x | [/ math] es muy grande, domina el término principal, por lo que el polinomio siempre toma valores positivos y negativos (esto es lo que falla para los polinomios de grado par valorados reales)
- Demuestre que los polinomios sobre los números reales son siempre continuos. Dibujaré este bramido.
- Aplica el teorema del valor intermedio para obtener el resultado.
Para probar 2, podemos proceder de la siguiente definición de continuidad:
Una función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] es continua si para cada secuencia [math] x_n \ rightarrow x [/ math], tenemos [math] f (x_n) \ rightarrow f (x). [/matemáticas]
Para los reales, esto es equivalente a la infame definición épsilon-delta. Entonces uno necesita mostrar que para cualquier secuencia [matemáticas] x_n \ rightarrow x, y_n \ rightarrow y, [/ math] tenemos [math] x_n + y_n \ rightarrow x + y, [/ math] y [math] x_n \ cdot y_n \ rightarrow x \ cdot y. [/ math] Las pruebas detalladas se encuentran en cada libro de texto de análisis 1, y se pueden encontrar, por ejemplo, aquí.
El resultado se sigue fácilmente, ya que la función [math] x \ mapsto x [/ math] es claramente continua usando la definición anterior, y se construye un polinomio a partir de multiplicaciones y sumas de tales funciones. Esto termina la prueba.