¿Cuál de estos es más grande a medida que n se hace muy grande, 2 ^ 2 ^ 2 ^ no 100 ^ 100 ^ n?

Answer 1

Bueno, aparentemente algunas personas en las respuestas en realidad no saben cómo funciona la exponenciación.

Entonces, tenemos estas dos expresiones: [matemáticas] 2 ^ {2 ^ {2 ^ {n}}} [/ matemáticas] y [matemáticas] 100 ^ {100 ^ {n}} [/ matemáticas]. Como regla general, cuantos más números tengamos en nuestra torre de exponenciación (siempre y cuando todos los números involucrados sean mayores que [matemática] 1 [/ matemática]), más rápido crecerá.

Ahora, una forma de comparar números [matemáticos] 2 [/ matemáticos] es verificar sus exponentes. Entonces, reescribamos [matemáticas] 100 ^ {100 ^ {n}} [/ matemáticas] en una forma más “amigable”: [matemáticas] 2 ^ {log_ {2} (100) * 100 ^ {n}} [/ matemáticas]

Ahora tenemos que verificar si [math] 2 ^ {2 ^ {n}} [/ math] crece más rápido que [math] log_ {2} (100) * 100 ^ {n} [/ math]. De nuevo, podemos comparar exponentes, reescribiendo [math] log_ {2} (100) * 100 ^ {n} [/ math] como [math] 2 ^ {log_ {2} (log_ {2} (100)) + log_ {2} (100) * n} [/ math] y comparando esto con el exponente de [math] 2 ^ {2 ^ {n}} [/ math].

Nuestra comparación ahora es entre [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] y [matemáticas] log_ {2} (log_ {2} (100)) + log_ {2} (100) * n [/ matemáticas]; una es una función exponencial, la otra es una función lineal del tipo [matemática] an + b [/ matemática], y así podemos ver claramente que eventualmente [matemática] 2 ^ {2 ^ {2 ^ {n}}} El crecimiento de [/ math] eventualmente superará a [math] 100 ^ {100 ^ {n}} [/ math]

Answer 2

define la función [matemáticas] f (x) = ln (ln (x)), x> \ geq 1 [/ matemáticas]

podemos encontrar que esta función está aumentando.

ahora, echemos un vistazo a estos dos números: [matemática] A_n = 2 ^ {2 ^ {2 ^ n}} [/ matemática] [matemática] B_n = 100 ^ {100 ^ n} [/ matemática].

[matemáticas] f (A_n) = f (2 ^ {2 ^ {2 ^ n}}) = ln (2 ^ {2 ^ n} ln (2)) = ln (ln (2)) + 2 ^ n ln (2) = f (2) + 2 ^ n ln (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] f (B_n) = f (100 ^ {100 ^ n}) = ln (100 ^ n ln (100)) = ln (ln (100)) + n ln (100) = f (100) + n ln (100)

desde [math] ln (2)> 0 [/ math], es simple encontrar [math] f (A_n) -f (B_n)> f (2) -f (100) + (2 ^ n-7n) ln (2)> 0 [/ math] cuando n es lo suficientemente grande.

entonces, [matemáticas] A_n> B_n [/ matemáticas], cuando n es lo suficientemente grande.

Answer 3

100 ^ 100 ^ n.

Cómo se deriva: 2 ^ 2 ^ 2 ^ n = 16 ^ n.

100 ^ 100 = (1 x 10 ^ 200) ^ n. Como la base de la segunda expresión es más grande, crecerá más rápido.

Answer 4

Me parece que 2 ^ 2 ^ 2 ^ n eventualmente se haría más grande, 2 ^ 2 = 4, 2 ^ 2 ^ 2 = 16, pero una vez que agregamos esa variable, y se hace más grande que 3, el número se vuelve tan grande que simplemente desborda incluso las calculadoras más grandes, como: la Calculadora de números grandes en línea. Necesitaría una súper calculadora para resolver esto, y es probable que ninguno de nosotros tenga ese tipo de dinero. – Zachary Virtualol