Cómo mostrar que [matemáticas] \ sqrt {10} ^ {\ left (\ sqrt {11} ^ {\ left (\ sqrt {12} ^ \ sqrt {13} \ right)} \ right)} [/ math] no es un numero primo

Answer 1

Dado el conocimiento matemático y las herramientas que poseemos, intentemos explorar las posibilidades y responder esta pregunta de una manera práctica, racional y razonable.

Una definición común o conocida es que un número primo es un número natural mayor que 1, un número entero o un número entero positivo que no tiene divisores positivos distintos de 1 y en sí mismo.

Las raíces cuadradas en la pregunta son números irracionales.

Para aclarar un poco las cosas, aquí hay una imagen que muestra cómo los números reales incluyen números racionales, que incluyen los enteros, que a su vez incluyen los números naturales:

A veces, un número irracional a un poder irracional puede ser racional. Pero en esta pregunta tenemos un número irracional a tres poderes irracionales sucesivos, por lo tanto, es poco probable que el resultado sea un número racional. E incluso si por casualidad el resultado es racional, lo cual es muy poco probable y exagerado, también es muy poco probable que el resultado sea un número entero, y mucho menos un número primo.

Intentar encontrar el valor exacto o un buen valor numérico aproximado del número en la pregunta con un CAS como Mathematica arroja un resultado de error de desbordamiento numérico.

Investigando más, aquí están los valores numéricos de las raíces cuadradas dadas:

[matemáticas] \ sqrt {10} \ aprox 3.16227766016838 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {11} \ aprox 3.31662479035540 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} \ aprox 3.46410161513775 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {11} \ aprox 3.60555127546399 [/ matemáticas]

No es posible o es difícil imaginar o concluir que la exponenciación de los números anteriores dará un número primo entero.

El número en la pregunta se puede representar en términos de poderes de [matemáticas] 10 [/ matemáticas] como (de Wolfram Alpha):

[matemáticas] {10 ^ {\ displaystyle 10 ^ {45.6300001823446166326903}}} [/ matemáticas]

Se puede ver o notar que el número anterior no es un número entero o un número primo.

Para lo que vale, usar Mathematica para probar si el número en la pregunta es primo y escribir el código:

PrimeQ [Sqrt [10] ^ Sqrt [11] ^ Sqrt [12] ^ Sqrt [13]]

produce el resultado o la respuesta: falso .

Como resultado adicional, usar otras funciones integradas de Mathematica y escribir el código:

Simplifique [ExpTotrig [Sqrt [10] ^ Sqrt [11] ^ Sqrt [12] ^ Sqrt [13]]]

se encuentra que las raíces cuadradas exponenciadas dadas se pueden expresar en términos de funciones trigonométricas como:

¿Podría la expresión anterior ser igual a un número primo? Realmente, lo dudo seriamente.

Answer 2

¿Cómo puedo demostrar que [math] \ sqrt {10} ^ {\ sqrt {11} ^ {\ sqrt {12} ^ {\ sqrt {13}}}} [/ math] no es un número primo?

Primero tienes que mostrar que es un número entero; de lo contrario, la primalidad no tiene sentido (a menos que especifique alguna estructura distinta de los enteros). Dudo si es incluso racional. Primero [math] \ sqrt {12} ^ {\ sqrt {13}} [/ math] es sobre [math] 12 ^ {1.8} = 88.2 [/ math]. A continuación, desea [matemáticas] 11 ^ {44.1} [/ matemáticas], que es aproximadamente [matemáticas] 8.4 \ veces 10 ^ {45} [/ matemáticas]. Esto podría ser un número entero, pero lo dudo. Si es un número entero, debería ser incluso para que su expresión sea un número entero.

Obviamente, una calculadora necesita más de 45 dígitos para poder confirmarlo de esa manera. Algunos lenguajes de computadora tienen aritmética de precisión múltiple. Por ejemplo, Haskell puede hacer aritmética con precisión arbitraria.

Sin embargo, sería mejor dar un argumento matemático.

Answer 3

Estoy 99.9% seguro de que ni siquiera es un número algebraico, y mucho menos un número entero, y mucho menos un número primo. Sin embargo, la comunidad matemática no tiene actualmente los teoremas para demostrarlo. Lo mejor que podemos hacer es demostrar que [math] \ sqrt {10} ^ {\ sqrt {11}} [/ math] no es algebraico usando el Teorema de Gelfond-Schneider.

Answer 4

[math] \ sqrt {10} ^ {\ sqrt {11} ^ {\ sqrt {12} ^ {\ sqrt {13}}}} [/ math] es un número irracional.

No es un número primo ni un número compuesto (número no primo).

Answer 5

Los números primos solo pueden ser enteros enteros. La raíz cuadrada de cualquier cosa que no se pueda simplificar NO es un número primo.

Answer 6

A2A, gracias.

Mi primera sugerencia es evaluarlo, para ver primero si es incluso un número entero. 🙂