¿Cómo integramos [x ^ 2] desde los límites 0 a 3, donde [] significa la función entera más grande?

Answer 1

Si visualiza el gráfico de esta función, verá pasos de diferentes alturas y anchos …

Entre [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 1 [/ matemática], la altura del escalón es [matemática] 0. [/ Matemática]

Entre [math] 1 [/ math] y [math] \ sqrt {2} [/ math], la altura del paso es [math] 1. [/ Math]

Entre [math] \ sqrt {2} [/ math] y [math] \ sqrt {3} [/ math], la altura del escalón es [math] 2. [/ Math]

Y así sucesivamente, hasta que entre [math] \ sqrt {8} [/ math] y [math] 3 [/ math], la altura del escalón sea [math] 8. [/ Math]

Una integral es básicamente el área bajo la curva entre los límites dados, por lo que la integral de la función dada es simplemente la suma de las áreas de todos estos pasos rectangulares …

[matemáticas] 0 \ veces 1 + 1 \ veces \ sqrt {2} +2 \ veces \ sqrt {3} +… + 8 \ veces 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ aproximadamente 7.69399 [/ matemáticas]

Answer 2

[matemáticas] \ begin {eqnarray *} \ int_0 ^ 3 [x ^ 2] dx & = & \ sum_ {i = 0} ^ {8} \ int_ \ sqrt {i} ^ \ sqrt {i + 1} [x ^ 2] dx \\ & = & \ sum_ {i = 0} ^ {8} \ int_ \ sqrt {i} ^ \ sqrt {i + 1} i dx \\ & = & \ sum_ {i = 0} ^ {8} (\ sqrt {i + 1} – \ sqrt {i}) i \\ & \ approx & 7.694 \ end {eqnarray *} [/ math]